337
|
|
|
|
3 |
|
2πc |
2 |
h |
1 |
|
rω,T |
|
|
ω |
, rλ ,T |
|
|
2πc |
2 |
ω |
|
5 |
|
|
hc |
|
|
e |
|
1 |
|
λ |
|
|
|
|
kT |
|
|
|
e |
λkT |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– формула Планка.
График функции rω, T представлен на РИС. 43.3, а функции rλ, T – на РИС. 43.4. rω, T
Рис. 43.3
6.3.5. Законы излучения чёрного тела
1.Закон Кирхгофа
2.Закон Планка
3.Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:
– постоянная Стефана-Больцмана.
Интегральная излучательная способность чёрного тела
|
|
|
|
|
RT rω,T dω |
|
0 |
|
|
|
Обозначим |
ω |
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
ω |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω3 |
|
1 |
|
dω |
|
|
|
kT |
|
|
|
ω |
|
1 |
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ekT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ekT |
|
|
d |
|
. |
2πc |
2 |
|
2πc |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
kT |
|
|
|
|
|
kT |
ξ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k4 |
|
|
|
eξ 1 1 dξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT |
|
T4 ξ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πc |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл в этом выражении – это константа, табличная величина. Поэтому RT ~ T4, ч. т. д.
338
4.Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;
λmT b
где b = 2,90∙10–3 м∙К – постоянная Вина.
Доказательство
Условие максимума спектральной излучательной способности
из формулы Планка
|
|
5λ |
|
hc |
|
|
e |
|
|
|
6 |
|
kTλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hc |
|
|
5e |
|
|
|
|
kTλ |
Обозначим |
hc |
x ; получим |
|
|
kTλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe |
drλ ,T 0. dλ
|
|
|
|
hc |
1 |
λ e |
|
|
|
5 |
|
kTλ |
|
|
|
|
|
5 |
hc |
|
hc |
e |
|
|
|
|
kTλ |
|
|
kTλ |
|
|
Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:
x |
|
|
hc |
, λ T |
hc |
const , ч. т. д. |
|
0 |
|
kTλ |
m |
kx |
0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
На РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способность rλ, T в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излучательной способности смещён в сторону более коротких волн.
rλ, T
T2 > T1
T1
Рис. 43.4
Демонстрация: Закон Вина
5. Формула Рэлея-Джинса
339
Из классических соображений можно получить формулу
– формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следует
– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.
Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энер-
гии.
Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых часто-
:
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
ω |
|
|
|
ω kT |
|
ω kT |
2πc |
2 |
ω |
|
2πc |
2 |
ω |
2πc |
2 |
1 |
|
|
e |
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
340
Лекция 44
6.3.6. Оптическая пирометрия
Оптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.
Пирометры |
|
радиационные |
оптические |
регистрируют интегральное |
регистрируют излучение |
излучение нагретого тела |
нагретого тела на узком |
|
участке спектра |
Введём ряд энергетических характеристик излучения80.
Поток излучения Φ – средняя мощность оптического излучения за время, много большее периода световой волны.
Энергетическая освещённость – поток излучения,
приходящийся на единичный участок поверхности тела, на которое падает свет:
Энергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:
Энергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали:
B dI . dS cosφ
Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС. 44.1.
Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):
Радиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:
80 Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин, которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическому излучению.