Файл: мат анализ 2 (2 семестр).doc

.

По теореме о существовании и единственности существует решение ,

.

Эти решения линейно независимы согласно пункту 3.

2°. Фундаментальная система решений (фср).

Опред.: Фундаментальной системой решений ФСР называется любой базис пространства решений.

Теорема (о структуре общего решения О ЛОС.):

Если вектор-функции образуют ФСР, тоявляется решением ЛОС тогда и только тогда, когда..

- ФСР.

Билет №10

Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.

(фундаментальная матрица).

Свойства фундаментальной матрицы:

1. - невырожденная.

2.

3. Вектор-функция тогда и только тогда является решением однородной системы, когда выполняется равенство:, где- постоянный вектор.

.

4. Теорема: Если - фундаментальная матрица, то матрица будет фундаментальной тогда и только тогда, когда, где- невырожденная постоянная матрица.

Доказательство:

.

- решение. - решение ЛОС.

. ,.

3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).

Опред.: Определителем Вронского вектор-функций называется определитель

Решения (ЛОС) образуют ФСР тогда и только тогда, когда(хотя бы в одной точке).

- ФСР ,.

Билет № 11

5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.

- ЛДУ

- линейный дифференциальный оператор -го порядка.

Если , то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)

Если , то получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Сумма решений ОДУ , а также произведение решения на число снова является решением.

Уравнению можно поставить в соответствие линейную однородную систему:

Каждому решению уравненияможно однозначно сопоставить решение

ЛОС (1)

Соответствие (1) не нарушается при сложении решений и умножении решения на число. Оно также сохраняет линейную зависимость или независимость решений.

Свойства уравнения :

1. Если - решение уравнениянаи,, тона.

2. Множество всех решений уравнения является линейным пространством размерности.

3. Решения уравнениялинейно независимы тогда и только тогда, когда они линейно независимы хотя бы при одном значении.

ФСР называется любой базис пространства решений, то есть любые линейно независимых решений.

4. Теорема о структуре общего решения:

Если функции образуют ФСР, то функцияявляется решением тогда и только тогда, когда, где.

- фундаментальная матрица.

Опред.: Определителем Вронского функций называется определитель

5. Решения уравненияобразуют ФСР тогда и только тогда, когда

.

Замечание: для линейной независимости произвольных функций условиеявляется достаточным, но не необходимым.

Пример:

на

ЛНУ, так как если