Файл: мат анализ 2 (2 семестр).doc

Билет №12

4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).

Вывод формулы:

- фундаментальная матрица

6°. Формула Лиувилля-Остроградского для ЛО ДУ-го порядка.

Билет № 13, 14

6°. Линейные неоднородные ДУ и системы.

Теорема (общее решение ЛНС):

, где - частное решение,- ФСР, соответствующая однородной системе,,.

Доказательство.:

. .

. Пусть - решения.

.

.

Для ЛНУ го порядка имеет место аналогичная теорема.

Билет № 15

7°. Метод вариации постоянных.

Данный метод позволяет найти частное решение.

находим находим.

Находим

Билет № 16

3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

, .

,

(характеристический многочлен).

Пусть- все корни характеристического многочлена.

1-й случай (различны):

Тогда - ФСР.

, .

Пусть

Если - действительны и являются ФСР.

Если ,

- корень ,

Следовательно - решения.

,

- линейно независимы

над линейно независимы над.

Билет № 17

3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

, .

,

(характеристический многочлен).

Пусть- все корни характеристического многочлена.

2-й случай (среди есть одинаковые):

Лемма 1:

Если - коренькратности характеристического многочлена , то

, линейно независимы над .

Доказательство:

{

}

Лемма доказана.

- различные среди корней характеристического многочлена с кратностями ,

Лемма 2:

Если , где- многочлены с комплексными коэффициентами.

.

Доказательство (проводим индукцией по ):

База

Шаг - л. справа.

Продифференцируем это равенство раз:

Теорема:

- ФСР .

Доказательство:

Пусть ,

,