Файл: мат анализ 2 (2 семестр).doc

Линейно независимо над линейно независимо над.

Билет № 18

4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

, ,.

,

, где ,.

,

Теорема:

Если - корень кратностихарактеристического многочлена, то частное решение уравнения можно искать в виде , где,.

Доказательство:

Билет № 19

5°. Лос с постоянными коэффициентами.

, ,

- собственный вектор с собственным числом.

- корни характеристического многочлена.

- собственные вектора.

Опред.: Если собственные числа различны, то соответствующие им собственные вектора линейно-независимы.

Опред.: Линейный оператор (матрица) называется диагонализируемым, если она имеетлинейно-независимых собственных векторов.

Опред.: Если - линейно независимы, то- ФСР.

Билет № 20

5°. Лос с постоянными коэффициентами.

Опред.: Если матрица не диагонализируемая, то ее характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Лемма:

Пусть - фундаментальная матрица ЛОС, где- матрица, а- невырожденная матрица. Тогда.

ЛОС , где

Доказательство:

Следствие 1:

Вывод: собственные числа увеличатся на .

Следствие 2:

- постоянная матрица.

Вывод: собственные числа не изменятся.

Теорема (о структуре общего решения):

Фундаментальную систему решений линейной однородной системы можно составить изподмножеств, соответствующих попарно различным корнямхарактеристического многочлена, причем корнюкратностисоответствуетлинейно независ. решений вида, где- многочлены степени не превосходящей.

Доказательство:

Доказательство проводим индукцией по при фиксированном.

База индукции при все корни (собственные числа) различнытеорема справедлива.

Шаг индукции. Предположим, что теорема справедлива для числа . Докажем ее для.

Без ограничения общности можно считать, что ,, а теорема уже доказана для случая, когда- корень кратности,-корень кратности,-корень кратности.

Можно считать, что , иначе делаем заменуна.

Пусть - собственный вектор, соответствующий. Значит,. Можно считать, что.

Сделаем замену переменных: ,,

.