Файл: мат анализ 2 (2 семестр).doc

,

Из уравнения следует:

учитывая, что , получаем:.

ФСР

, (где- фундаментальная матрица исходной системы).

Билет № 21

1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.

Опред.: Решение называется непрерывно зависящим от начальных условий на интервале:

Теорема:

Если непрерывна на,на, тоур-я,непрерывно зависит от начальных условий на интервале, где,.

Доказательство:

2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.

, на.

Опред.: Решение нормальной системы называетсяустойчивым по Ляпунову, если той же системы, удовлетворяющее неравенству,, выполняется неравенство,.

Опред.: Решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и

, . .

Решение нормальной системы устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво нулевое решение преобразованной системы

Билет №22

3°. Теорема Ляпунова.

Теорема:

Пусть нормальная система имеет решение. Пусть существует дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям:

1). ,.

2). если - решение, топри, тогда точка покояустойчива по Ляпунову.

Если к тому же при,, то точка покояасимптотически устойчива.

Опред.: Функция называется функцией Ляпунова.

Следствие:

Если действительные части всех собственных чисел матрицы отрицательны, то любое решениеассимптотически устойчиво.

Доказательство:

, - собственные числа матрицы.

Если ,.

.

Билет № 23

4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

, где .

4.

Утверждение:

- действ. вектор функц. тогда и только тогда, когда .