Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

f = σ 2πr .

Эта сила уравновешивается силон тяжести P = mg столбика спирта.

Давление в точках, лежащих на половине высоты столбика спирта ( x = h2 ), равно

Задача 2

Две параллельные пластинки шириной a = 10 см, находящиеся на расстоянии d = 0,1 мм, погружены нижним краем в воду. Какую силу надо приложить к каждой из пластинок, чтобы не допустить их сближения? Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,072 Н/м.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Как уже упоминалось в предыдущей задаче, давление вдоль столба жидкости, который поднимется между пластинками, будет уменьшаться от атмосферного давления p0 до давления

где ∆p рассчитывается по формуле Лапласа.

В данном случае один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Второй главный радиус равен половине расстояния между пластинками, поэтому

Давление на боковую поверхность каждой пластинки со стороны жидкости на расстоянии х от уровня мениска меньше, чем наружное давление, на величину

Тогда сила, которую надо приложить к каждой из пластинок, чтобы не допустить их сближения, равна

где h – высота поднятия жидкости. Подставив выражение (3) в формулу (4) и произведя интегрирование, получим

Из условия равновесия столба жидкости следует, что гидростатическое давление

Выразив отсюда высоту поднятия жидкости h и подставив в выражение (5), окончательно найдем

f= 2σ 2 a =10,6 Н . d 2 ρg

Задача 3

В стеклянный капилляр, внутренний радиус которого r2 = 1 мм, коаксиально вставлена стеклянная палочка, радиус которой r1 = 0,75 мм. Найти высоту капиллярного поднятия воды в образовавшемся канале (рис. 46). Коэффициент поверхностного натя-

жения σ = 0,072 Н/м.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Высота поднятия h может быть рассчитана из соотношения

где ∆p – избыточное давление, определяемое по формуле Лапласа

Таким образом, задача по существу сводится к нахождению главных радиусов кривизны поверхности жидкости в капилляре.

Как видно из рис. 46, один из главных радиусов можно принять равным половине рас-

стояния между, внутренней стенкой капилляра и вставленной палочкой, т. е.

R1 = r2 − r1 . 2

Второй главный радиус приближенно равен

R2 = r1 + r2 . 2

Подставляя значения обоих радиусов в формулу (2) и затем находя h, находим

Если для решения задачи приравнять силу поверхностного натяжения вдоль линий соприкосновения стекло-вода и силу тяжести столба воды (см. задачу № 1 этого параграфа), то получим

Расхождение формул для расчета h объясняется тем, что каждый из этих методов является приближенным.

Задача 4

Поверхностное натяжение на границе вода-масло можно принять равным σ = 1,8·10-2 Н/м. Какую работу надо произвести, чтобы каплю масла массой т = 1 г раздробить внутри воды на капельки радиусом r = 10-4 см? Процесс дробления можно считать изотермическим. Плотность масла ρ = 0,9 г/см3.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

При изотермическом дроблении одной большой капли на множество мелких затрачивается энергия только на образование добавочной поверхности. Внутренняя энергия капель не меняется. Следовательно,

где R — радиус большой капли, N — число мелких капель.

Масса масла не меняется, следовательно, масса большой капли равна массе N капе-

откуда

элемент пленки (рис. 47). Известно, что при переходе через сферическую поверхность жидкости давление меняется скачком на величину

∆p = 2rσ .

Следовательно,

pB − pA = 2rσ ,

pC − pB = 2rσ ,

где pA – внешнее давление воздуха на пузырь, pB – давление в толще пленки, pC – искомое давление воздуха внутри пузыря. Учитывая, что pA = p0, получим

Энергия, затрачиваемая на образование поверхности пузыря,

где S – сумма внутренней и внешней поверхностей пленки. Искомая работа вычисляется по формуле

Выразив поверхность пленки S и объем V пузыря через радиус и используя формулу (1) для давления, получим

регая величинами второго порядка, можно получить окончательный результат: