Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

СБОРНИК ЗАДАЧ

под ред. Барто М. П.

МЕХАНИКА

1. Кинематика

При решении последующих задач следует использовать дифференциальную связь между перемещением, скоростью и ускорением, записывая соответствующие соотношения в проекциях на координатные оси (например, ux = dx/dt, ах = dvx/dt). Аналогично

v0x, а0x могут быть положительными или отрицательными в зависимости от ориентации векторов r0, v0, a по отношению к оси X.

1.1. Начертить графики зависимости от времени, скорости и перемещения некоторого тела, если график ускорения а(t) имеет вид, представленный на рис. 1.1 (начальная скорость равна нулю).

1.2.Начертить графики зависимости от времени перемещения и ускорения некоторого тела, если скорость этого тела как функция времени представлена графиком на рис. 1.2.

1.3.Человек ростом h2 проходит с постоянной скоростью v под фонарем, высота которого над землей h1. Найти, с какой скоростью движется по земле конец тени М человека (рис. 1.3).

1.4.Параллельные оси двух цилиндрических блоков находятся в горизонтальной плоскости на расстоянии 2d друг от друга. Через блоки перебрасывается нить, к концам

которой подвешиваются два одинаковых груза. Среднюю точку нити между блоками тянут вертикально вниз с постоянной скоростью v, вследствие чего грузы поднимаются вверх. Выразить скорость грузов v1 в зависимости от времени и найти их скорость в тот момент, когда средняя точка от своего первоначального положения на горизонтальном направлении нити будет перемещена на расстояние d (считать, что радиусы блоков

R << d).

Указание. При решении следует учесть нерастяжимость нити. Полезно построить график v1(t) и объяснить полученную зависимость.

Рис. 1.3 Рис. 1.4

1.5. Две зажженные свечи (первоначально одинаковой высоты) поставлены на стол на расстоянии l = 5 см друг от друга. Одна свеча равномерно сгорела за время τ1 = 1 ч,

другая – за τ2 = 0,75 ч. Определить уравнение движения края М тени, бросаемой II свечой от I свечи, и скорость края тени в тот момент, когда I свеча сгорит наполовину

(рис. 1.4).

1.6. Фонарь, находящийся на расстоянии R0 = 3 м от вертикальной стены, бросает на нее «зайчик»; фонарь равномерно вращается около вертикальной оси. Число оборотов фонаря n = 0,5с-1. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найти скорость «зайчика» v через промежуток времени t = 0,1 с после того, как луч света был перпендикулярен к стене.

Указание. Полезно построить и обсудить график зависимости v(t). He противоречит

найти скорость и ускорение через время t = 3 с после начала движения. Построить графики пути, скорости и ускорения в зависимости от времени.

1.8.Тело свободно падает с высоты H = 1000 м. Найти, какое расстояние пройдет тело в последнюю секунду своего падения.

1.9.Тело свободно падает с высоты H = 980 м. За какое время оно пройдет последние h = 98 м своего пути?

1.10. Брошенное вертикально вверх с некоторой скоростью тело было в точке, ле-

жащей на половине высоты своего подъема, два раза с промежутком времени τ = 2с. Найти, с какой скоростью было брошено тело.

1.11.Мячик брошей вертикально вверх со скоростью v0 = 9,8 м/с. Когда он достиг высшей точки своего подъема, вверх был брошен с той же начальной скоростью второй мячик. Найти, на какой высоте произойдет встреча мячей.

1.12.Два тела двигаются по одному и тому же прямолинейному пути с ускорениями: а1 = 1 м/с2 и a2 = 3 м/с2. Некоторую точку А тела проходят в одинаковом направле-

нии через время t0 = 14 с одно после другого; в точке А скорость первого тела v1 = 22 м/с и второго v2 = 10 м/с. Через какое времени после прохождения точки А пер-

вым телом второе тело догонит первое?

1.13. По шоссе со скоростью vl = 16 м/с движет-

ся автобус. Человек находится на расстоянии a = 60 м от шоссе и b = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы выйти к какойлибо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его? Человек может бежать со скоростью v2 ≤ 4 м/с (рис. 1.5). Направление определяется уг-

Рис. 1.5

лом α.

Указание. Координатные оси удобно направить так, как показано на рис. 1.5.

1.14. Из корзины равномерно опускающегося со скоростью va = 2,0 м/с аэростата был подброшен вертикально вверх камень со скоростью v0 = 11,8 м/с (относительно аэ-

ростата): а) найти расстояние H1 между корзиной аэростата и камнем в тот момент, когда камень достигнет высшей точки своего подъема (относительно Земли); б) каково наибольшее расстояние Н2 между корзиной аэростата и камнем?

Указание. Находя H2 в системе координат, связанной с Землей, и в системе, связанной с аэростатом, можно убедиться в идентичности различных инерциальных систем.

1.15.Удары колокола повторяются через интервалы времени t0 = 2,0 с. Через какой промежуток времени слышит два последовательных удара этого колокола человек, удаляющийся от него со скоростью v = 16 м/с? Скорость звука в воздухе с = 332 м/с.

1.16.Самолет, находясь на некоторой высоте над землей, летит с постоянной скоростью v = 400 м/с. Найти высоту полета самолета, если при наблюдении с него в зри-

тельную трубу неподвижного предмета на земле угол между направлением трубы и вертикалью в некоторый момент равен θ1 = 26,5°, а через время t = 0,1 с тот же угол становится равным θ2 = 25,0°.

1.17. В кабине лифта, поднимающегося со скоростью v = 0,75 м/с, падает неболь-

шой предмет с высоты h = 44 см над полом. Найти, через какое временя после начала своего падения предмет коснется пола кабины. Как изменится расстояние от предмета до земли за время его падения внутри кабины?

См. указание к задаче 1.14. Решить задачу в двух системах отсчета.

1.18.Над колодцем глубиной h = 19,6 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v0 = 19,6 м/с. Найти, через какой промежуток времени камень будет находиться на следующих расстояниях от поверхности земли: h1 = 29,4 м, h2 = 19,6 м, h3 = 9,6 м. Через какой промежуток времени камень упадет на дно колодца?

1.19.Найти тангенциальное и нормальное ускорение тела, брошенного под некоторым углом к горизонту, когда оно, поднимаясь по своей траектории, имеет скорость, направленную под углом α = 30° к горизонту.

1.20.Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α1 = 60° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории этого тела в тот момент, когда его скорость составляет с горизонтом угол α2 = 45°.

2. Динамика поступательного движения материальной точки

Второй закон Ньютона следует записывать для каждого тела в отдельности в про-

екциях на координатные оси, например, ∑Fyi = m1a1y . Наиболее простое решение получается, если одну из осей направить по ускорению тела, а вторую – перпендикулярно.

В задачах, где тела системы связаны при помощи нитей, предполагается, что нити нерастяжимы и невесомы. Нерастяжимость обеспечивает одинаковые скорости и ускорения всех точек нити в один и тот же момент времени, а невесомость – одно и то же натяжение в любом ее сечении. Если нить перекинута через блок, то натяжение ее по обе стороны от блока можно считать одинаковым лишь в случае, если масса блока в задаче пренебрежимо мала. Если в условии задачи нет никаких сведений о блоке, предполагается, что это условие выполняется.

2.1.Неподвижный груз, масса которого т = 1 кг, приводится в движение по горизонтальной плоскости без трения действием постоянной силы и в течение времени t = 1 с перемещается на расстояние s = 1 м. Найти величину действующей на тело силы.

2.2.Найти среднюю силу, с которой кувалда действует при ударе на кусок металла, лежащий на наковальне, если масса кувалды т = 8 кг, высота ее поднятия h = 1 м и продолжительность удара τ = 5,10-3 с. Считать, что кувалда падает только под действием силы тяжести, происходит неупругий удар, и масса куска металла и наковальни много больше массы кувалды.

2.3.Коэффициент трения при движении вагона по рельсам µ = 0,01. Какую долю от силы тяжести вагона должна составлять горизонтальная сила, способная сообщить ему ускорение а = 0,12 м/с2?

2.4.На тело, имеющее начальную скорость v0 = 15 м/с, действует в направлении его скорости в течение времени t = 10 с постоянная сила F = 99 Н; за это время тело переместилось на расстояние s = 300 м. Найти массу тела.

2.5.Пуля, обладающая скоростью v = 300 м/с, пробивает доску толщиной d = 3 см и уменьшает при этом свою скорость вдвое. Найти среднюю силу сопротивления движению пули внутри доски. Масса пули m = 8 г.