Файл: Переработанные лекции (1).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.04.2025

Просмотров: 758

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если

область

“поддержки” низкочастотного фильтра представляет собой

прямоугольник:

1

1

1

1

xs ,

xs

ys

,

xs

2

2

2

2

То его импульсный отклик есть произведение SINC-функций: h x, y sin c x xs sin c y ys

Обратное Фурье-преобразование реконструирует изображение по формуле:

f x, y f m x, n y sin c x xs m sin c y ys n

m n

Результат будет совпадать с исходной функцией, если выполняется условие

дискретизации Найквиста-Котельникова.

Двумерная (непрерывная)

функция с ограниченным спектром f x, y может

быть однозначно (безошибочно)

восстановлена из дискретизации f m x, n y если

шаги дискретизации были выбраны из условия:

1

2

,

1

2

xs

x0

ys

y 0

x

y

Восстановление функции проводится по интерполяционной формуле:

f x, y

m n

sin x xs m

f m x, n y

x xs m

sin y ys n

y ys n

Задача

Изображение описывается функцией f x, y 2 cos 2 3x 4y . Дискретизация функции проводится со значениями интервалов дискретизации: x 0.2 , y 0.2 . Нужно восстановить функцию после дискретизации.

Решение Преобразуем функцию перед преобразованием Фурье:

f x, y 2 cos 2 3x 4y e j 2 (3x 4 y) e j 2 (3x 4 y)

Фурье-образ заданной функции:

F 1, 2 1 3, 2 4 1 3, 2 4 .

Откуда x0 3, y 0 4 .

Частоты дискретизации:

1

xs 5 ,

1

ys

5 меньше частоты дискретизации

x

y

Найквиста-Котельникова 2 x0 , 2 y 0 .

Найдем спектр дискретизированного изображения:

1 k xs , 2 l ys

FS 1, 2 xs ys F

k l

3 5k,

4 5l 3 5k,

4 5l

25

2

2

1

1

k l

Применим низкочастотный фильтр:

1

1

, 2.5 1

2.5,

2.5 2 2.5

H ,

2

xs ys

25

1

0,

èí à÷å

Получим Фурье-образ:

F 1, 2 H 1, 2 FS 1, 2 1 2, 2 1 1 2, 2 1

Он при восстановлении дает функцию:

f x, y 2 cos 2 2x y

Квантование изображений

Оцифровка (кодирование) = дискретизация + квантование.

Операция

квантования

переводит

непрерывную

переменную

в

дискретную: u

u , при этом u

может принимать лишь определенное количество

значений из заданного диапазона чисел r1,

, rL .

Задача квантования — определить порядок разбиения диапазона изменения

измеряемой переменной

на заданное количество отрезков, а также определить, какое

значение присваивается переменной на каждом из этих отрезков.

L

k

0

Задача состоит в том, что бы определить

t

,

k 0,..., L

. При этом t , t

—

минимальное и максимальное значения переменной (границы диапазона изменения). Если переменная находится на участке tk ,tk 1 , то переменная заменяется на некоторое значение в нем tk rk tk 1 .

Пример Самым простым и часто применяемым является квантование с постоянным

шагом. Напряжение измеряется в диапазоне от –3.2 мВ до +9.6 мВ. Количество уровней разбиения — L=256 (1 байт). Тогда при равномерном разбиении интервал квантования:

q 9.6 3.2 12.8 0.05 mB 256 256

Уровни разбиения рассчитываются так:

tk

12.8 k 1

mB , k 0, , 256

256

Уровни реконструкции (восстановления) так: rk tk 0.025 mB

Квантование необратимо, т.е. для данного выходного значения входной сигнал не может быть определен однозначно. Квантование неизбежно приводит к ошибке (потере информации), поэтому методы проектирования квантователя должны быть ориентированы на обеспечение минимума ошибки.

Оптимальный квантователь

Задача проектирования — добиться минимума средне-квадратической ошибки квантования для данного числа уровней квантования.

Пусть u —действительная скалярная случайная переменная с плотностью вероятности распределения. Необходимо найти такое распределение уровней

k

k 0,..., L

k

t

,

и

уровней

реконструкции

r ,

k 0,..., L 1

, чтобы обеспечить

минимум ошибки.

Среднеквадратическая погрешность сумма квадратов отклонений от истинного

значения:

t

E u u 2

L

u u 2

pu u du

t0

Представим функцию ошибки несколько по-другому:

L 1 ti1

u ri 2 pu u du

i 0 t

i

Всего неизвестных (2L–1):

tk , k 1,..., L 1

rk , k 0,..., L 1 )

Известны только граничные значения — t0 tL .

Необходимое условие минимизации — частные производные целевой функции по каждой переменной tk , rk должны равняться нулю:

t

r

2

p

t

t

r

2 p

t

0

k

k

k

k

tk

k 1

u

k

u

tk 1

u rk

pu u du 0,

2

0 k L 1

rk

tk

Решение:

t

rk

rk 1

k

2

tk 1

upu u du

rk

tk

E u

u tk ,tk 1

tk 1

pu u du

tk

Системы из (2L–1) линейных уравнений можно решить методом итераций Ньютона. Полученные результаты позволяют заключить, что оптимальное положение

точек разбиения ровно посередине между точками восстановления (реконструкции), которые, в свою очередь, лежат в «центре массы» функции плотности вероятности на участке между точками разбиения.

В том случае, если число уровней квантования велико, то решение может быть получено путем кусочно-линейной аппроксимации вероятности pu u :

ˆ

ˆ

1

t j

t j 1 ,

t j u t j 1

pu (u) pu (t j ), t j

2

Используя эту аппроксимацию, получим формулу:

t0 zk

u 1 3

A

p

u

tk 1 t0

t0

t

L

u 1 3

p

u

t0

Где A tL t0 ,

zk

A k

L ,

k 0,..., L 1.

Уровни разбиения, значение которых нужны для определения динамического ранга A квантователя, берутся из предварительной оценки. Когда уровни разбиения

tk рассчитаны, уровни реконструкции rk могут быть легко посчитаны.

Уровни реконструкции определяются как средние на каждом участке разбиения. В этом случае среднеквадратическая погрешность равна:

1

tL

1

3

p

u 3

du

2

u

12L

t

0

Это полезная формула, так как она дает оценку погрешности квантования по значению плотности вероятности и числу интервалов квантования.

Два наиболее распространенных закона распределения плотности вероятности:

Закон Гаусса:

pu u

1

u 2

exp

2

2

2

2

Закон Лапласа:

pu u 2 exp u

Где — средняя величина u, — дисперсия u.

Оптимальное расположение точек разбиения и реконструкции для этих законов приводятся в таблицах.

Линейный квантователь

Для равномерного закона распределения плотности вероятности формулы для оптимального квантователя будут иметь вид:

1

, t0

u tL

u

t

p

t

L

0

u

0,

èí à÷å

Тогда: tk2 1

tk2

t

k 1

t

k

r

2 tk 1 tk

k

2

t

tk 1 tk 1

k

2

Что дает:

tk 1 tk tk tk 1 q

Смотрите также файлы