ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1493
Скачиваний: 0
a11 |
a12 |
a13 |
|||||
D = |
a21 |
a22 |
a23 |
¹ 0 . |
(1.6) |
||
a31 |
a32 |
a33 |
|||||
Тогда система (1.5) имеет единственное решение, которое может |
|||||||
быть найдено по формулам Крамера: |
|||||||
x j = |
j |
, j =1, 2, 3, |
(1.7) |
||||
где j – определитель, полученный из определителя системы путем
замены j-го столбца столбцом свободных членов. Задача 1. Решить систему уравнений
2x1 - 4x2 + x3 = 3, |
|||
- 5x2 |
+ 3x3 = -1, |
||
x1 |
|||
- x2 |
+ x3 = 1. |
||
x1 |
|||
Решение. Вычислим определитель D данной системы по правилу |
|||
треугольников: |
|||
2 |
- 4 |
1 |
|
D = 1 |
- 5 |
3 = |
|
1-1 1
=2 × (- 5)×1 + (- 4)× 3 ×1 + 1 ×1 × (-1) -1 × (-5) ×1 - 2 × 3 × (-1) -1 ×1× (-4) =
=-8 ¹ 0.
Вычисляем вспомогательные определители:
3 |
− 4 |
1 |
1 = −1 |
− 5 |
3 = |
1−1 1
=3 × (-5) ×1 + (-4) ×3 ×1 +1× (-1) × (-1) -1× (-5) ×1 - 3 ×3 × (-1) -1× (-1) × (-4) = -16 ;
2 |
3 |
1 |
||
D2 = |
1 |
-1 |
3 |
= |
1 |
1 |
1 |
||
= 2 × (-1) ×1 + 1× 3 × 3 + 1×1×1 -1× (-1) ×1 - 2 × 3 ×1 -1×1× 3 = 0 ;
17
2 |
− 4 |
3 |
||||
3 = |
1 |
− 5 |
−1 |
= |
||
1 |
−1 |
1 |
=2 × (-5) ×1 + 1× (-4) × (-1) + 3 ×1× (-1) - 3 × (-5) ×1 - 2 × (-1) × (-1) - (-4) ×1×1 =
=8 .
Значит, |
x = |
1 |
= |
−16 = 2 , x |
= |
2 = |
0 |
= 0 , |
x |
= |
3 = |
8 |
= -1. |
||||
1 |
D - 8 |
2 |
D - 8 |
3 |
D - 8 |
||||||||||||
Проверка: |
|||||||||||||||||
2 × 2 - 4 × 0 -1 = 3, |
|||||||||||||||||
- 5 × 0 + 3 × (-1) = -1, |
|||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
- 0 -1 = |
1. |
||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
Верно. |
|||||||||||||||||
Ответ: |
x 1 = 2 ; x 2 = 0 ; |
x 3 = −1. |
|||||||||||||||
1.2. Основные сведения из векторной алгебры |
|||||||||||||||||
Вектором называют направленный отрезок (рис. 1.1). Если точка
А – начало вектора, а В – |
его конец, то |
|||
AB |
такой вектор обозначают |
AB . |
||
Наряду с этим используется обозна- |
||||
B |
||||
чение вектора малой латинской буквой |
||||
A |
со стрелкой, т. е. a . |
|||
Векторы называют равными, если |
||||
Рис. 1.1 |
||||
они имеют равные длины и одинаково направлены. Число, равное длине вектора, называется его модулем и
обозначается символом |
R |
. Если |
R |
=1, |
то вектор a |
называется еди- |
||||
a |
a |
ничным. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
Пусть вектор a наклонен к оси l под углом ϕ (рис. 1.2). Тогда проекция вектора a на ось l обозначается символом прl a и вычисляется по формуле
R |
= |
R |
× cosj. |
(1.8) |
||
прl a |
a |
18
a |
a |
||||||
ϕ |
|||||||
ϕ |
R |
R |
|||||
прl a |
l |
||||||
прl a |
l |
||||||
Рис. 1.2 |
|||||||
Проекции вектора a |
на оси прямоугольной декартовой системы |
||||||
координат называются координатами вектора. Координаты вектора обозначаются буквами x, y, z соответственно координатным осям, а
вектор в координатной форме записывается a = { x; y; z} . |
Три взаим- |
но-перпендикулярных вектора единичной длины i , j , k |
называют |
ортонормированным базисом. |
|
Вектор в ортонормированном базисе имеет вид |
|
R |
(1.9) |
a = xi + yj + zk . |
Если даны две точки M1 (x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) являющиеся соот-
ветственно началом и концом вектора M1M 2 , то |
||||||
M1M 2 = {x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}. |
(1.10) |
|||||
Длина вектора a находится по формуле |
||||||
R |
||||||
= x2 + y 2 + z 2 . |
(1.11) |
|||||
a |
||||||
Если вектор a составляет с координатными осями углы α , β и γ ,
то cosα , cosβ , cos γ называются направляющими косинусами вектора a и определяются по формулам
cos α = |
x |
; cos β = |
y |
; cos γ = |
z |
; |
(1.12) |
|||||||
R |
R |
R |
||||||||||||
a |
a |
a |
||||||||||||
причем |
||||||||||||||
cos2 |
α + cos2 β + cos2 γ = 1. |
(1.13) |
||||||||||||
Над векторами a = {x1 |
; y1; z1}, |
b = {x2 ; y2 ; z2 } определены опера- |
||||||||||||
ции сложения, умножения на число, а также скалярное и векторное произведения.
19
При этом для сложения векторов и умножения вектора на число имеют место следующие формулы:
R |
+ b = {x1 |
R |
}. (1.14) |
a |
+ x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 }; m a = {m x1; m x2 ; m x3 |
||
Определение. |
Скалярным произведением двух векторов a и b на- |
||
зывается |
число, равное произведению длин этих векторов, |
умножен- |
|
ному на косинус угла между ними.
Скалярное произведение обозначается точкой между векторами или круглыми скобками. Если угол между векторами обозначим через ϕ , то скалярное произведение можно выразить следующей формулой:
R |
R |
= |
R |
× |
R |
× cosj . |
||||
a |
× b |
a |
b |
|||||||
Для векторов, записанных в координатной форме, скалярное произведение вычисляется по формуле
R |
× b = x1 y1 |
+ x2 y2 |
+ x3 y3 . |
(1.15) |
a |
Определение. Векторным произведением двух векторов a и b на-
зывается вектор, обозначаемый символом |
R |
´ b |
и определяемый сле- |
a |
|||
дующими тремя условиями (рис. 1.3): |
R × a b
b
ϕ
a
Рис. 1.3
1) модуль вектора |
R |
´ b |
ра- |
||||||||
a |
|||||||||||
вен |
R |
× |
R |
×sin j , где ϕ – |
угол ме- |
||||||
a |
b |
||||||||||
жду векторами a и b (равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах);
2) вектор |
R |
´ b |
перпендику- |
a |
лярен плоскости векторов a и b ; 3) направлен он в ту сторону, откуда кратчайший поворот от
вектора a к вектору b виден
против часовой стрелки.
Для векторов, записанных в координатной форме, векторное произведение вычисляется по формуле
20