Файл: Высшая математика для 1 и 2 курса.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1494

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

R

R

R

R

V

=

i

j

k

=

y

z

R

x

z

R

x

y

R

x

y

z

a

´ b

1

1

i -

1

1

j +

1

1

k . (1.16)

1

1

1

y2

z 2

x2

z 2

x2

y 2

x2

y2

z2

Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b и c

называется число,

равное векторному произведению

R

´ b , умножен-

a

R R

ному скалярно на вектор c , и обозначается ab c .

Для векторов, записанных в координатной форме, смешанное произведение вычисляется по формуле

R R R

x1

y1

z1

=

x2

y2

z2

.

(1.17)

abc

x3

y3

z3

Из определения скалярного

произведения

R

R

=

R

×

R

× cosj и

a

× b

a

b

формулы (1.15) можно найти косинус угла ϕ между векторами a и b :

R

x1 x2

+ y1 y2

+ z1 z2

cos j =

ab

=

.

(1.18)

R

×

V

a

b

x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22

Поскольку, площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна

R

R

=

R

×

R

sin j,

(1.19)

a

´ b

a

b

то площадь S треугольника, построенного на векторах a , b , вычисляется по формуле

1

R

R

S =

a

´ b

.

(1.20)

2

Наконец, из определения смешанного произведения векторов a ,

b и c вытекает, что объем треугольной пирамиды, построенной на этих векторах, определяется формулой

V =

1

R R R

.

(1.21)

abc

6

21

1.3. Основные сведения из аналитической геометрии

Общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат имеет вид

Ax + By + C = 0 .

(1.22)

n

Вектор

n = {A; B}

называется

нормальным

вектором

прямой.

Он

перпендикулярен

прямой

M 0 (x0 ; y0 )

M (x; y)

(рис. 1.4). Уравнение прямой,

проходящей

через

точку

Рис. 1.4

M 0 (x0 ; y0 )

перпендикулярно

вектору n = {A; B}, имеет вид

A(x − x0 )+ B(y − y0 ) = 0 ,

(1.23)

Если две прямые заданы уравнениями

A1x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 = 0 , то угол ϕ между ними определяется как угол меж-

ду их нормальными векторами n1 = {A1; B1} и n2 = {A2 ; B2 }:

cos j =

n1

×

n2

=

A1 A2

+ B1 B2

.

(1.24)

R

×

R

n1

n2

A2

+ B2

× A2

+ B2

1

1

2

2

cos ϕ = 0,

Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых –

или

A1 A2 + B1 B2 = 0 ,

(1.25)

а условие параллельности имеет вид

A1

=

B1

.

(1.26)

A2

B2

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 ) до прямой (1.22) вычисляется по формуле

d = Ax0 + By0 + C .

A2 + B2

Рассмотрим другие виды уравнений прямой на плоскости.

22

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 ) параллельно вектору s = {m; n}, имеет вид

x − x0

=

y − y0

.

(1.27)

m

n

Вектор s = {m; n} называется направляющим вектором прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

M1(x1; y1) и

M 2 (x2 ; y2 ) , записывается по формуле

x − x1

=

y − y1

.

(1.28)

x2 − x1

y2 − y1

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла α наклона прямой к оси Ох (рис. 5). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид

y = k x + b .

(1.29)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 ) , записывается по формуле

y

b

α

0

Рис. 1.5

y - y0 = k(x - x0 ).

(1.30)

Если две прямые заданы уравне-

ниями

y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 , то ус-

ловие перпендикулярности этих пря-

мых имеет вид

x

k1 × k2 = -1,

(1.31)

а условие параллельности:

k1 = k2 .

(1.32)

Рассмотрим далее различные виды прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой в пространстве (рис. 1.6) имеет вид

s

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

,

(1.33)

m

n

p

M (x, y, z)

где M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

– точка, ле-

M 0 (x0 , y0 , z0 )

жащая на прямой, а s = {m; n; p}

– направляющий

вектор

пря-

Рис. 1.6

мой.

23

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

M1 (x1; y1; z1) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) записывается по формуле

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

(1.34)

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

Параметрическое уравнения прямой в пространстве имеет вид

x = x0 + mt,

= y0

+ nt, − ∞ < t < +∞ .

(1.35)

y

= z0

+ pt,

z

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат имеет вид

n

∙

M((xx;,yy; z, )z)

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

Рис. 1.7

Ax + By + Cz + D = 0 .

(1.36)

Вектор

n = {A; B;C}

называется нормальным

вектором плоскости. Он перпендикулярен плоскости (рис. 1.7). Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно

вектору n = {A; B;C}, имеет вид

A(x − x0 ) + B(y − y0 )+ C(z − z0 ) = 0 .

(1.37)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (x1; y1; z1) ,

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) и M 3 (x3; y3; z3 ) , записывается по формуле

x - x1

y - y1

z - z1

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

= 0 .

(1.38)

x3 - x1

y3 - y1

z3 - z1

Если две плоскости заданы

уравнениями

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , то угол ϕ между ними определяется как угол

V

V

= {A2

; B2 ;C2 }:

между их нормальными векторами n1

= {A1; B1;C1} и n2

cosj =

n1

×

n2

=

A1 A2

+ B1 B2 + C1C2

.

(1.39)

R

×

R

n1

n2

A12 + B12 + C12 × A22 + B22 + C22

24

Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид cos ϕ = 0, или

A1 A2 + B1B2 + С1С2 = 0 ,

(1.40)

а условие параллельности:

A1

=

B1

=

C1

.

(1.41)

A2

B2

C2

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 )

до прямой (1.36) вычисляется по

формуле

d =

Ax0 + By0

+ Cz0 + D

.

(1.42)

A2

+ B2 + C2

Рассмотрим кривые второго порядка.

Линии, задаваемые уравнением второй степени относительно те-

кущих координат х и у, на-

y

зываются кривыми второ-

M (x; y)

го порядка.

Простейшей

R

кривой

второго

порядка

является окружность.

∙

Определение.

Окруж-

M 0 (x0 ; y0 )

ностью

называется

гео-

метрическое

место

точек,

равноудаленных

от

неко-

торой точки,

называемой

0

x

центром

окружности

Рис. 1.8

(рис. 1.8).

Уравнение

окружно-

сти радиуса R с центром в

точке M 0 (x; y0 ) имеет вид

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .

(1.43)

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат записывается формулой:

x2 + y 2 = R 2 .

(1.43)

Параметрическое уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

25

Смотрите также файлы