Файл: Высшая математика.docx

Плотность вероятности распределения: =

F(x)=

Числовые характеристики:

1. M(X)=(a+b)/2

2. D(X)=(b-a)²/12

3. Σ(X)=Іb-aІ/2

52. Распределение непрерывной СВ называется показательным, если плотность вероятности имеет вид: λ≥0

F(x)=

Числовые характеристики:

1. M(X)=1/λ

2. D(X)=1/λ^2

3. σ(X)=1/λ

14. ДУ первого порядка с разделяющими переменными: P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0

При делении на Q1(y)P2(x) могут быть потеряны решения, если отдельно решить уравнение Q1(y)P2(x)=0 можно установить так называемые особые решения, которые могут быть получены из общего решения.

Уравнение вида y’=f1(x)f2(y) также называется ДУ с разделяющими переменными.

15. Функция f(x,y) называется однородной функцией н-ной степени, если при умножении каждого ее фрагмента на t вся функция умножается на tⁿ: f(t_x,t_y)=tⁿ*f(x,y). Функция называется однородной в нулевой степени, если f(t_x,t_y)=f(x,y).

ДУ 1-го порядка y’=f(x,y) называется однородным, если функция f(x,y) стоящая справа является однородной функцией нулевой степени.

Можно показать, что любое однородное уравнение сводится к уравнению вида: y’=ϕ(y/x) (*).

Полагая (y/x=u) где u, новая независимая функция сводят однородное уравнение (*) к уравнению с разделяющими переменными.

16. Уравнения вида y’+p(x)y=q(x) заданные непрерывной функцией называются линейными ДУ 1-го порядка.

Метод решения: искомая функция у представляется в виде произведения 2-х новых функций u и v: y=uv, тогда y’=u’v+uv’

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x) потребуем, чтобы выражение в скобке обращалось в ноль, приходим к системе:

Сначала из 1-го уравнения системы находят функцию v=v(x) это уравнение с разделяющими переменными: v’+p(x)*v=0

v’=-p(x)*v

dv/dx=-p(x)*v

dv/v=-p(x)dx

Ln|v|=-

V=

Во второе уравнение системы подставляют v находим функцию u=u(x,C) , обычно эта функция находится непосредственным интегрированием. В итоге y=u(x,C)*v(x)- ОР исходного уравнения.

Уравнение Бернулли: y’+p(x)y=q(x)y^α

17. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка: 1-ый тип: F(x,y’,y’’)=0 (т.е. сводится к уравнению более низкого порядка) с помощью замены y’=z(x) где z-новая независимая функция, тогда: y’’=z’ и уравнение

32. Рядом называется выражение вида: Un – общий член ряда. Определение: если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда при n→∞, то ряд – называетсясходящимся, при этом её сумма равна пределу частичных сумм. - сумма ряда. Если же предел последовательных частичных сумм не существует или бесконечен,ряд называется расходящимся. Свойства: 1. Если ряд сходится и С ≠ 0 – некоторая постоянная, то сходится и ряд, причем его сумма = СS, где S = .

2. Если ряды сходятся, причем сумма

Un = S1, , то сходится и ряды, причем,=S1-S2. Теорема: если ряд сходится, то предел общего члена ряда равен 0:

35. Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Если для знакочередующегося ряда выполнены 2 условия: 1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает: U1>U2>U3>… 2) предел Un при n→∞ = 0 , то знакочередующийся ряд сходится, при этом сумма ряда не превосходит первого члена ряда: 0 < S < U₁

36. Знакопеременным называется ряд содержащий бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Определение: Рассмотрим ряд, если сходится ряд составленный из модулей членов исходящего ряда, то исходящийряд называетсяабсолютно сходящимся. Если же ряд расходится, но при этом рядявляется сходящимся, то говорят, чтоисходный ряд условно сходится.

37. Ряд, членами которого является функция, зависящая от Х, называется функциональным рядом:

Среди функциональных рядов особую роль играют степенные ряды, то есть ряды вида: гдеa0,a1 и т.д. – числовые коэффициенты ряда. ( х – действительная переменная) Теорема Абеля: если степень ряда (1) сходится при х=х*≠0, то он абсолютно сходится при всех значениях х удовлетворяющих неравенству │х│<│x*│ Итак область сходимости степени ряда представляет собой интервал вида (-│х*│, │х*│) с возможно присоединяющимися к нему концами. Определение: радиусом сходимости степенного ряда (1) называют неотрицательное число R, такое, что при │х│< R ряд сходится, а при │х│> R – расходится. R =

42. Пусть выполнены следующие предположения:

1. Число элементарных исходов конечно.

2. Все элементарные исходы равновозможны, тогда верны следующие классические ….

Под вероятностью Р(А) событие А понимается отношение числа элементарных исходов благоприятствующие событию А общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания. Р(А)=m/n. – n – общее число элементарных исходов; m – число элементарных исходов данного события А.

Обобщение классическим вероятности на бесконечное число элементарных исходов является геометрическая вероятность. Пусть равновозможные элементарные исходы являются точками органического множества G n-мерного пространства (n=1,2,3).

41. Элементарными событиями (или элементарными исходами) называется единственные возможные взаимно-исключающие исходы опыта, (неразложимые исходы опыта) обозначающие w₁, w₂ и т. д. А все общее исходов относится к данному опыту обозначается Ω={w_1,w_2,w_3…} – и называется пространством элементарных исходов.

Алгебра событий: 1) Суммой двух событий А и В называется событие А+В (АᶸВ), состоящее из всех элементарных принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В. Событие А+В имеет место когда происходит хотя бы одно из событий А или В. А+В. 2) Произведение событий А или В называется событие АВ (АВ) состоящий из элементарных событий принадлежащих А и В одновременно. Событие А и В происходит когда происходит как событие А, так и событие В одновременно. АВ.

47. Универсальным способом задания случайной величины Х является ее функции распределения F(x) которая определяется следующим образом: F(x)=P(X˂x) – вероятность того, что СВ Х примет значение меньше х.

Свойства функции распределения:

1) 0≤F(x)≤1

2) ,

3) F(x) – неубывающая на всей числовой оси т. е. если х₁˂х₂ =˃ F(x₁) ≤ F(x₂)

4) P(x₁≤ x ˂ x₂)= F(x₂) – F(x₁)

5) F(x) непрерывна слева

6) P(X ≥ x) = 1 - P(X ˂ x) = 1 – F(x)

48. СВ Х называется дискретной или она принимает конечное или четное число значений.

Числовые характеристики ДСВ.

Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений, значений, СВ на соответствующую им вероятности.

M(x) =

Дисперсией ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от своего математического ожидания: Д(Х)=М(Х – М(Х))²

Для ДСВ формула дисперсий приобретает вид

Д(Х) =

Средним квадратическим отклонением СВ называют квадратический корень из дисперсии

σ(Х)=