Файл: Высшая математика.docx

17. 1-ый тип: уравнения не содержащие явно искомую функцию у: F(x,y’,y’’)=0. Уравнение допускает понижение порядка(т.е. сводится к уравнению более низкого порядка – к первому) с помощью замены y’=z(x), где z(x)-новая неизвестная функция, тогда y’’=z’ и уравнение примет вид F(x,z,z’),решая его находим функцию z(x)=ϕ(x,C1), в итоге искомая функция у находится интегрированием:

2-ой тип: уравнение не содержащее явно независимую переменную х: F(y,y’,y’’)=0. Примени метод понижения порядка, сделаем замену: y’=p(y) y’’=(p(y))’_x=dp/dy*y’_x=pdp/dy,уравнение примет вид F(y,p,pdp/dy)=0 - ДУ 1-го порядка, откуда находим функцию p=ϕ(y,C1) или dy/dx=ϕ(y,C1)–с разделяющими переменными (РАЗДЕЛИТЬ ПЕРЕМЕННЫЕ). Du/ϕ(y,C1)=dx. Далее интегрируем.

18. ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p(x)y’+q(x)y=0 *

Функции y1(х),y2(х) называются линейно-зависи­мыми на (а,в), если существуют такие числа α1,α2, из которых хотя бы одно отлично от 0, что выпол­няется равенство α1y1(х)+α2y2(х)=0 для любых х из интервала (а,в). Если же из выполнения указанного равенства следует, что α1=α2=0, то функции y1(х),y2(х) называются линейно-независимыми на (а,в).

О линейно-зависимых или независимых y1(х),y2(х) можно судить по определителю: -вронскиан (определитель Вронского).

ни в одной точке (а,в), тогда и только тогда, когда функции y1(х),y2(х) линейно-независимы.

Теорема: (о структуре ОР ЛОДУ 2-го порядка) если y1(х) и y2(х) линейно-независимые решения урав­нения (*), то функция y=C1*y1(x)+C2*y2(x)-где С1,С2 – произвольные постоянные являющиеся общим решением уравнения (*).

19. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициен­тами: y’’+py’+qy=0

1. Д˃0 к1≠к2 к1,к2=(-p+(-)/2a () ОР (y=C1e^k1x+C2e^k2x)

2. Д=0 к1=к2=к к=-p/2 (y1=e^kx y2=e^kxx) OP (y=C1e^kx+C2e^kxx)

3. Д˂0 Д=-р-4q˂0 k1,k2=(-p+(-)i/2=α+(-)βi

OP (y=C1e^αxcos(βx)+C2e^αxsin(βx)=e^αx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

20. ЛНДУ 2-го порядка: y’’+py’+qy=f(x)

Теорема( о структуре ОР ЛНДУ 2-го порядка) об­щим решением ЛНДУ является сумма общего ре­шения однородного уравнения соответствующее y’’+py’+qy=f(x) и некоторого частичного решения уравнения y’’+py’+qy=f(x): y_он=у_оо+у_чн

21. Метод вариации произвольных постоянных:

Пусть y=C1(x)y1+C2(x)y2-где С1(х),С2(х) некоторые функции подлежащие определению

Для нахождения С1(х),С2(х) потребуем чтобы у_чн было решением уравнения y’’+py’+qy=f(x) (*)

Найдем у_чн’= C1(х)’y1++C1(x)y1’+C2(x)’y2+C2(x)y2’ , пусть для упрощения C1’(x)y1+C2’(x)y2=0, тогда y’_чн=C1(x)y1’+C2(x)y2’ , далее y’’_чн=C1’(x)y1’+C1(x)y1’’+C2’(x)y2’+C2(x)y2’’ подстав­ляем в уравнение (*).

Требуем (…………..)=f(x), и так, чтобы y=C1(x)y1+C2(x)y2 было решением уравнения, должны выполнятся следующие требования:

Из полученной системы определяем С1’(х), С2’(х), находим С1(х), С2(х): интегрированием

Записываем учн=С1(х)у1+С2(х)у2, после чего у_он=у_оо+у_чн

22. Метод неопределенных коэффициентов(метод подбора)

23. Если существует предел интегральной суммы при n→∞(λ→0) который не зави­сит ни от способа разбиения области Д на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д и обо­значается .

Свойства двойного интеграла:

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: а). если f(x,y)≥0 в Д, то б). еслиf(x,y)≤g(x,y), то

4. Оценка двойного интеграла: пусть м- наи­меньшее, М- наибольшее значения функции z=f(x,y) в области Д, тогда m(Sd)≤≤M(Sd)

5. Аналог теоремы о среднем: пусть f(x,y) не­прерывна в Д, тогда существует М₀(х0,у0) ϵ Д что

S(x)= - площадь поперечного сече­ния цилиндрического тела.

V=- объем ци­линдрического тела

24.Если существует предел интегральной суммы , при →∞(λ→0) независящей ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них, то он называется тройным ин­тегралом от функции f по области V и обозначается

Свойства тройного интеграла:

1. Линейность

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если f(x,y,z)≤g(x,y,z)

4. _тела

5. ценка тройного интеграла: m*V≤

7. p=p(x,y,z) _тела

25. Если существует предел интегральной суммы приn→∞(λ=max →0), кото­рый не зависит ни от способа разделения кривой на части, ни от выбора точек, то он называетсякриволинейным интегралом от функции f(x,y) по длине дуги и обозначается:

Свойства КРИ-1: 1.

2.

3.

4. f(x,y)≤g(x,y),

5. - длина дуги

6. p(x,y), m=

7. , где (хс,ус)АВ

27. пусть функция Р(х,у), Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в области Д, тогда имеет место формула:

-где - граница области Д и интегрированиепроизводится в положительном направлении, ко­гда при движении пообласть Д остается слева. На­зываетсяформулой ГРИНА, она связывает КРИ-2 по границе области с двойным интегралом, по са­мой области.

Условия независимости КРИ-2:

1. Для любой замкнутой кривой расположен­ной в Д:

2. Для любых 2-х точек А и В лежащих в Д значе­ний интеграла , не зави­сит от выбора пути интегрирования целиком лежащего в Д.

3. P(x,y)dx+Q(x,y)dy – представляет собой пол­ный дифференциал некоторой функции u(x,y) определенного в области Д т.е. такой, что du=Pdx+Qdy

4. В области Д всюду :

28. Пусть задана поверхность S и функция f(x,y,z), разбивающая поверхность на части площадями . В каждой части произвольно выбирают точку Мi(xi,yi,zi), составляют интегральную сумму и нахо­дят ее предел называемый поверхностным инте­гралом(ПОВИ-1):

Свойства: 1. f=1 _{поверхности}

2. Если задана плотность поверхности то, _{поверхности}

29. Рассмотрим 3 непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и выберем определенную сторону поверхности S (ориентированную поверхность). Выбранную сторону S разбиваем на части, затем проектируем эти части на координатные плоскости и строим интегральные суммы например: , гдеэто площадь проекции соответствующей части на плоскость Оху (+)-если нормаль составляет с Оz острый угол и (-) – если ту­пой. В пределе при n→∞ такая сумма дает ПОВИ-2

Общий вид ПОВИ-2:

30. Если в каждой точке М некоторой области задан вектор (M), то говорят, что в области задано векторное поле (если рассматриваемая область на плоскости, поле называется плоским).

Характеристики векторного поля: 1. Поток П_S(векторного поля, через ориентированную поверх­ность S называется ПОВИ-1 скалярного произведе­ния вектора на единичный вектор нормали к поверхности S: П_S(