Файл: Высшая математика.docx

2. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой L, называется следующее КРИ-2: Ц_L(=

31. Дивергенцией векторного поля называется ве­личина: = он характеризует мощ­ность источника, если ˃0 в точке М и мощ­ность стока, если˂0 в точке М.

Ротором (вихрем) векторного поля называется (m)= = (++

Если (m)поле называется без вихревым или по­тенциальным, при этом существует такая скалярная функция u(m) что grad u=,u- называется потен­циалом поля.

Векторное поле в каждой точке которого дивергенция равна 0 , называется соленоидальным.

33. Достаточные признаки сравнения:

1. Признак сравнения: пусть даны 2 знака положи­тельных ряда ,причем начиная с некоторогоn Un≤Vn, тогда из сходимости следует сходимость, а из расходимостиследует расходимость.

2. Предельный признак сравнения: пусть даны 2 знака положительных ряда ,и пусть, тогда ряды,либо оба расходятся, либо оба сходятся.

3. Признак Даламбера: пусть дан знака положи­тельный ряд и пусть существует конечный или бесконечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:=l

При l˂1 ряд сходится

При l˃1 ряд расходится

При l=1 признак ответа не дает

34. Интегральный признак Коши: если члены знака положительного ряда могут быть представлены, как числовые значения некоторой непрерывной, монотонно убывающей на промежутке [1,∞) функ­ции f(x), так что U1=f(1), U2=f(2) и т.д. , а Un=f(n).

1. если сходится, то сходится ряд

2. Если расходится, то расходится и ряд

38. Рядом Тейлора для функции f(x) называется ряд вида:

Если модули всех производных функции f(x) ограничены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М˃0, то для любых х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к самой функции f(x), т.е. имеет место разложение: ,причем это разложениеединственно.

При х0=0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена и имеет вид:

39. Ряды Маклорена для некоторых функций:

1). y=sinx

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

2). y=cosx

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

3). y=

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

4). y=ln(1+x)

(сходится , если х ϵ (-1,1])

5). y=(1+x)^m

Если m целое, положительное число, то вместо ряда получается конечная сумма.

Если m≥0 ряд сходится при хϵ [-1,1]

-1˂m˂0, то xϵ(-1,1] , m≤1, то xϵ(-1,1)

40. Приложения степенных рядов:

• Приближенное вычисление

Пусть требуется вычислить значение функции при х=х1 с заданной точностью ε функция раскладываем в степенной ряд подставляя вместо х, значения х1 и оставляем для вычисления столько членов ряда, сколько необходимо для соблюдения заданной точности ε.

Для знака чередующихся рядов первый из отбрасываемых членов ряда должен быть по модулю меньше заданной точности.

• Вычисление интегралов

Отметим, что абсолютно сходящиеся ряды можно дифференцировать и интегрировать почленно, при этом также получаются сходящиеся ряды.

Сперва разлаживаем под интегральную функцию в степенной ряд, затем интегрируем почленно.

• Приближенное вычисление ДУ

Запишем разложение в ряд Тейлора решение задачи Коши

43.Теорема(сложение вероятностей для несовместных событий):вероятность суммы 2-ч несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема(сложения вероятностей для произвольных событий): вероятность суммы для произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

44. Вероятность события В, при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается: P(B/A)

Теорема: вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них, на условную вероятность другого в предположении, что первое имеет место: P(AB)=P(A)*P(B/A)

Замечание: вероятность совместного появления 2-х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB)=P(A)*P(B)

45. Теорема: вероятность события А равна сумме произведений вероятностей всех гипотез на услов­ную вероятность события А: Р(А)=P(H1)*P(A/H1)+..+P(Hn)P(A/Hn)=

Пусть имеется полная группа событий H1,H2,…,Hn вероятности которых P(H1),P(H2),…,P(Hn) известны до опыта(вероятности априори). Производится опыт (испытание) в результате которого зарегист­рировано появление события А. Требуется найти вероятности гипотез после опыта (апостериори). т.е. фактически переоценить вероятности гипотез, т.к. P(AІHi)=P(A)*P(HiІA)=P(Hi)*P(AІHi) – откуда P(HiІA)=(P(Hi)*P(AІHi))/P(A)=(P(Hi)*P(AІHi))/∑P(Hi)*P(AІHi) – формула Байеса.

46. Серия повторений независимых испытаний в каждом из которых некоторое событие А происходило с одной и той же вероятностью р - называется схемой Бернулли. Т.о. в схеме Бернулли для каждого испытания возможны только 2 исхода: 1). Событие А происходит с вероятностью р. 2). Событие А не происходит с вероятностью 1-р=q.

- Формула Бернулли.

Теорема(Пуассона):пусть вероятность появления события А в каждом из n–испытаний мала (близка к 0), а число испытаний достаточно велико, тогда вероятность того, что в испытаний событие Р наступит к- раз выражает формула Пуассона: где λ=(λ≤10).

Теоремы Лапласа: 1. пусть вероятность наступления события А в каждом n–независимых испытаний постоянно и равна p(0˂p˂1). Тогда вероятность того, что в –испытаний событие появится к- раз можно найти по приближенной формуле:

*ϕ(x), где x=k-np/, а функция имеет вид ϕ(x)=1/2π*.

2. Интегральная: пусть вероятность того, что в –испытаний событие А произойдет не менее к₁ и не более к₂ раз определяется по формуле: , гдеx2Ф(х)=-Функция Лапласа.

Ф(-х)=-Ф(х)-нечетная, Ф(х)=1/2 для х˃5

49. ДСВ Х называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает свои значения к с вероятностями вычисленными по формуле Бернулли:

Характеристики: M(x)=np ; D(x)=npq; σ=

СВ Х называется распределенной по закону Пуассона, если вероятности с которыми она принимает свои значения вычисляется по формуле Пуассона:

Характеристики: M(x)=np=λ; D(x)=np=λ; σ(x)=

50. Пусть функция распределения непрерывной СВ имеет производную F’(x)=p(x), тогда функция p(x) называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины.

Свойства плотности вероятности:

1. P(x)≥0 (P(x))

2. 

3. P(a˂x˂b)=

4. a=-∞ b=x p(-∞˂X˂x)=p(X˂x)=F(x) F(x)=

Числовые характеристики непрерывной СВ:

1. под математическим ожиданием непрерывной СВ Х понимается величина несобственного интеграла:

, если он сходится.

2. D(X)=

3. σ(X)=

51. Непрерывной СВ Х называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности постоянна на отрезке [a,b], а вне этого отрезка =0, т.е. p(x)=