МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 27

з теми: «Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.04 Інтегрування за допомогою степеневих рядів

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання диференціальних рівнянь необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 27.

Тема: «Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.»

План лекції № 27.

1. Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відповідної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі початкової точки , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіцієнти якого обчислюють шляхом диференціювання.

Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних формул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.

---

Зразки розв’язування задач

1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, .

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

Тоді ,

---

.

2. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, .

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Тейлора для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

;

---

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тоді ,

.

4. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієнтами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння та початкові умови ( права частина рівняння також повинна бути записаною у вигляді ряду).

,

,

,

.

;

;

,

---

Смотрите также файлы

• лекция № 26.doc

• Пакет матер для ККР - др.doc

• ккр-др.doc

• Интернет.docx

• раздаточный материал.doc