МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 14

з теми: «Деякі диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Рівняння Ейлера.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.03 Диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Деякі диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Рівняння Ейлера.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод розв’язання однорідних лінійних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, що зводяться заміною до рівнянь зі сталими коефіцієнтами на прикладі рівняння Ейлера.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: загальний метод розв’язання лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Деякі диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Рівняння Ейлера.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 14.

Тема: «Деякі диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Рівняння Ейлера.»

План лекції № 14.

1. Загальний метод розв'язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь Ейлера.

2. Приклади.

Лінійні диференціальні рівняння n –го порядку зі змінними коефіцієнтами, які зводяться до рівнянь з постійними коефіцієнтами

Рівняння Ейлера - це рівняння вигляду

. (5.73)

Це рівняння приводиться до рівняння з постійними коефіцієнтами заміною

. (5.74)

Дійсно

,

, (5.75)

……………………

.

Підставляючи (5.74) і (5.75) в диференціальне рівняння (5.73) ми отримаємо диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами

. (5.76)

Частинні розвязки диференціального рівняння (5.76) знаходять у вигляді . Враховуючи (5.74), частинні розвязки диференціального рівняння (5.73) можна зразу шукати у вигляді (5.74)

. (5.77)

1. Рівняння Лагранжа має вигляд

. (5.78)

Це рівняння заміною також приводиться до диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

2. Рівняння

(5.79)

називається рівнянням Чебишева і після заміни при воно набирає вигляду

---

. (5.80)

Дійсно

,

.

Отже

,

.

Тобто отримали (5.80).

Приклад 5.17. Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Випишемо і розвяжемо характеристичне рівняння

,

.

Тому фундаментальна система розвязків буде наступною

.

Отже

– загальний розвязок.

Домашнє завдання: [3], стор. 58, №№ 589-591.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 13.doc

• лекция № 12.doc

• лекция № 11.doc

• лекция № 10.doc

• лекция № 27.doc