Файл: лекция № 10.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 10

з теми: «Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.»

Модуль кзн-02. Пр.О.002 Диференціальні рівняння вищих порядків

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

План заняття

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.

Мета:

• Дидактична: вивчити основні види диференціальних рівнянь другого та третього порядку, навчитись інтегрувати та знижувати порядок деяких рівнянь вищих(другого та третього) порядків.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

Хід заняття.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

Визначити основні види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку та методи їх розв’язання.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 10.

Тема: Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття та методи розв'язання

План лекції № 10.

1. Загальний метод розв’язання рівнянь вищих порядків, їх основні види. Задача Коші.

2. Приклади.

Диференціальне рівняння n-го порядку не розв'язане відносно старшої похідної має вигляд

, (1)

а розв’язане відносно має форму

. (2)

Частинний випадок цих рівнянь – це лінійне рівняння

. (3)

Означення 1. Функція y=y(x) визначена і n раз неперервно–диференційовна на (a,b), називається розв'язком диференціального рівняння (1), якщо вона на (a,b) перетворює це рівняння в тотожність

. (4)

Будь-якому розв'язку диференціального рівняння (1) відповідає на площині (x,y) деяка крива, яку будемо називати інтегральною.

Розглянемо нелінійне диференційне рівняння

(5)

і представимо рівняння (5) як рівняння руху частинки з одиничною масою при дії сили . Значення x і в момент t характеризують стан системи на площині (x,) (мал. 1). Ця площина називається площиною стану або фазовою площиною. Кожному новому стану відповідає нова точка на площині. Траєкторія зображаючої точки називається фазовою траєкторією, швидкість – фазовою швидкістю.

Мал. 1

---

Від диференціального рівняння (5) можна перейти до системи

, . (6)

Можна показати, що система (5), як і більш загальна

,, (7)

де ,– неперервні функції разом з своїми частинними похідними в деякій області D, мають ту властивість, що якщо x(t), y(t) – розв'язки системи, то і , , де с – довільна константа, теж розв'язок.

Система (7) називається автономною або стаціонарною.

Якщо система (7) задана на всій площині, то фазові траєкторії покриють всю площину і не будуть перетинатися одна з одною. Якщо в деякій точці (x₀,y₀) , то така точка називається особливою. В подальшому ми будемо розглядати тільки ізольовані особливі точки, тобто такі, в деякому малому околі яких немає інших особливих точок.

В реальних динамічних системах енергія розсіюється. Розсіювання (дисипація) енергії проходять в зв'язку з наявністю тертя. В деяких системах проходить повільне розсіювання енергії і ним можна знехтувати. Для таких систем має місце закон збереження енергії: сума кінетичної і потенціальної енергій постійна. Такі системи називають консервативними.

Розглянемо консервативну систему

. (8)

Від (8) перейдемо до наступної системи

. (9)

Виключаємо з (9) t

. (10)

Припустимо, що при t=t₀: x(t₀)=x₀, y(t₀)=y₀ і проінтегруємо (10) від t₀ до t

. (11)

---

Звідки

. (12)

Так як є кінетична енергія, а V(x)=–потенціальна, E=+V(x₀) – повна енергія, то (12) виражає закон збереження енергії.

+V(x)=E. (13)

Співвідношення (13) задають інтегральні криві на площині. Вони будуть різні і залежать від E.

Ми дали механічну інтерпретацію диференціального рівняння другого порядку. Зупиняємося на геометричній інтерпретації.

Розглянемо

(14)

і перепишемо його у вигляді

. (15)

Оскільки – кривизна кривої, то диференціальне рівняння другого порядку являє собою зв'язок між координатами, кутом нахилу дотичної та кривизною в кожній точці інтегральної кривої.

Задача Коші. Достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші

Розглянемо диференціальне рівняння (2) і поставимо задачу Коші: серед всіх розв'язків диференціального рівняння (2) знайти такий y=y(x), який задовольняє умовам

, (16)

де –задані числа, x₀ – початкове значення незалежної змінної, y₀,y₀¹, …y₀^n-1 –початкові данні.

Для диференціального рівняння другого порядку

(17)

задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв'язок диференціального рівняння (17), який би задовольняв умовам

, . (18)

Геометрично задача Коші полягає в тому, щоб знайти таку криву y=y(x), яка задовольняє диференціальне рівняння (17), проходить через точку M(x₀,y₀) і має заданий напрямок дотичної (мал. 2)

---