МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 13

з теми: «Лінійні однорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.03 Диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Лінійні однорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод розв’язання однорідних лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, спосіб організації фундаментальної системи розв’язків, загального розв’язку рівняння, навчитись розв'язувати як однорідні, так і неоднорідні лінійні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: загальні поняття стосовно лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Лінійні однорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 13.

Тема: Лінійні однорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами

План лекції № 13.

1. Загальний метод розв'язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.

2. Виділення дійсних коренів.

3. Приклади.

Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

Побудова загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами

, (5.26)

де – постійні дійсні числа, – неперервна функція на .

Разом з неоднорідним диференціальним рівнянням (5.26) будемо розглядати однорідне диференціальне рівняння

. (5.27)

Для побудови загального розв’язку диференціального рівняння (5.27) необхідно знайти хоч одну фундаментальну систему розв’язків. Виявляється, що фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння (5.27) можна побудувати з елементарних функцій.

Наприклад, при для диференціального рівняння , де – дійсне число, частинним розв’язком буде функція .

Дотримуючись ідеї Ейлера, частинні розв’язки диференціального рівняння (5.27) шукаємо у вигляді

, (5.28)

де – деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

. (5.29)

---

З (5.29) випливає, що є розв'язком диференціального рівняння (5.27) тоді і тільки тоді, коли , тобто

. (5.30)

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичними числами диференціального рівняння (5.27).

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.

а). Корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Тоді дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формул

.

Ці розв'язки є лінійно незалежними. Дійсно

,

так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа – різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

(5.31)

в області

, (5.32)

де – довільні сталі.

б). Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.

Нехай – пара комплексно спряжених коренів. Два дійсних, лінійно незалежних розв’язків будуються таким чином. Кореню відповідає комплексний розв’язок . Згідно доведеному вище, функції , також є розв’язками диференціального рівняння (5.27), які є незалежними в інтервалі . Аналогічно кореню відповідають два дійсних, лінійно незалежних розв’язки , . Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.

---

Таким чином, кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язки виду

, ,

які разом з розв’язком ( – дійсні числа) утворюють фундаментальну систему розв’язків на інтервалі .

Приклад 5.6. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв'язання. Запишемо характеристичне рівняння і знайдемо його розв'язки

, .

Тоді

– загальний розв’язок.

Приклад 5.7. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв'язання. ,,

–

загальний розв'язок.

Приклад 5.8. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв'язання. , ,

.

в). Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.

Припустимо, що -кратний корінь характеристичного рівняння (5.30), так що

, але . (5.33)

Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу , продиференціюємо тотожність

---

Смотрите также файлы

• лекция № 12.doc

• лекция № 11.doc

• лекция № 10.doc

• лекция № 27.doc

• лекция № 26.doc