МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 16

з теми: «Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Методи розв'язання рівнянь.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.03 Диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Методи розв'язання рівнянь.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод розв’язання неоднорідних лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, спосіб організації фундаментальної системи розв’язків, загального розв’язку неоднорідного рівняння, навчитись розв'язувати неоднорідні лінійні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

---

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначити лінійне неоднорідне диференціальне рівняння; визначити спеціальну праву частину такого рівняння; пояснити алгоритм знаходження частинного розв’язку для такого рівняння; пояснити алгоритм побудови загального розв’язку для такого рівняння.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Методи розв'язання рівнянь.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 16.

Тема: Лінійні однорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами

План лекції № 16.

1. Загальний метод розв'язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною. Задача Коші.

2. Виділення розв’язків в залежності від характеристичних коренів.

3. Приклади.

Знаходження частинного розв’язку лінійно неоднорідного диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

Для деяких частинних випадків функції можна знайти частинні розв’язки диференціального рівняння без квадратур. (*)

I). Розглянемо диференціальне рівняння з правою частиною

, (1)

де поліном з дійсними чи комплексними коефіцієнтами, -постійне дійсне чи комплексне число.

Розглянемо два випадки.

Випадок 1. Число не є коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок диференціального рівняння (5.37) шукають у вигляді

, (2)

де

(3)

поліном -ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто, в цьому випадку частинний розв’язок має ту ж аналітичну структуру, що і права частина диференціального рівняння (1)

Коефіцієнти знаходяться шляхом підстановки (2) в (5.37) і прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях .

---

Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно. Підставимо (2) в (1), отримаємо

Використовуючи вищенаведені формули, запишемо

.

На основі них маємо

Скорочуємо на і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

(4)

Так як , то з (4) послідовно визначаються всі коефіцієнти .

Випадок 2. Параметр являється -кратним коренем характеристичного рівняння , тобто

. (5)

В цьому випадку частинний розв’язок не можна побудувати в вигляді (2), так як . Його шукаємо у вигляді

, (6)

де – поліном вигляду (3).

Коефіцієнти полінома визначаються шляхом підстановки (6) в (1).

Звідки

.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

(7)

З (7) послідовно однозначно визначаються , так як .

II). Припустимо, що права частина диференціального рівняння (*) має вигляд

, (8)

де , – відомі поліноми степені менше або рівне (хоча б один має степінь ).

---

Використовуючи формули Ейлера, обчислимо

і перепишемо функцію таким чином

де і – поліноми степені , тобто є сума двох функцій, які розглянуті вище.

Випадок 1. Число не є коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок шукаємо у вигляді

, (9)

де і – поліноми -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Випадок 2. Якщо – -кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо в вигляді

. (10)

Приводячи (9) і (10) до дійсного вигляду, сформулюємо наступне правило знаходження частинного розв’язку для випадку (8).

Випадок 1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то

. (11)

Випадок 2. Якщо – -кратний корінь характеристичного рівняння (), то

. (12)

Тут і – поліноми -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 15.doc

• лекция № 14.doc

• лекция № 13.doc

• лекция № 12.doc

• лекция № 11.doc