Приклад 5.12. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

.

Розв'язання. Запишемо розв’язки однорідного диференціального рівняння

, , , .

Знаходимо розв’язки неоднорідного диференціального рівняння

, , ,

, .

Отже

– загальний розв’язок.

Приклад 5.13. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

.

Розв'язання. , , , .

Так як – корінь кратності ,то

, ,

– загальний розв’язок.

Приклад 5.14. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

. .

Розв'язання. Для нашого випадку .

---

Маємо , , , .

Оскільки , то . Після підстановки отримаємо

,

– загальний розв’язок.

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння n-го порядку

Структура загального розвязку неоднорідного рівняння

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

, (13)

де – неперервні на функції.

Припустимо, що для диференціального рівняння (13) ми знайшли частинний розвязок так, що

. (14)

Введемо нову змінну

. (15)

Тоді

.

Звідки

. (16)

Диференціальне рівняння (16) називається однорідним диференціальним рівнянням, яке відповідає неоднорідному диференціальному рівнянню (13).

Загальний розвязок диференціального рівняння (16) записується у формі

, (17)

де – фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння (16), – довільні сталі. Тоді

(18)

---

буде загальним розвязком диференціального рівняння (18) в області

. (19)

Таким чином, для знаходження загального розвязку неоднорідного диференціального рівняння (13) необхідно знайти один частинний розвязок диференціального рівняння (13) і прибавити до нього загальний розвязок однорідного диференціального рівняння.

Зауваження 5.1. Розглянемо диференціальне рівняння

. (20)

Припустимо, що – частинний розвязок диференціального рівняння , а – частинний розвязок диференціального рівняння . Тоді, очевидно, – частинний розвязок диференціального рівняння (20).

Приклад 5.15. Знайти частинний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Розглянемо диференціальні рівняння:

1. для якого ;

2. для якого .

Тоді – частинний розвязок даного диференціального рівняння.

Приклади:

1) Знайти загальний розв’язок рівняння.

---

шукаємо, користуючись правою частиною , где – не є коренем характеристичного рівняння , , где

– зробимо підстановку у вихідне рівняння

Отже, .

Скоротимо на

При

Маємо, .

.

2)Знайти загальний розв’язок рівняння

шукаємо, користуючись видом

– не є коренем . – багаточлени ступені 0. Отже,

Далі, робимо підстановку у рівняння :

---

.

Скоротимо на :

При

Отже, .

.

Домашнє завдання: [2], стор. 113-124, [3], стор. 56, №№ 549-554.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 15.doc

• лекция № 14.doc

• лекция № 13.doc

• лекция № 12.doc

• лекция № 11.doc