МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 3

з теми: «Однорідні рівняння першого порядку.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Однорідні рівняння першого порядку.

Мета:

• Дидактична: ознайомитися з основними типами звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, вивчити методи знаходження розв'язків інтегральних типів диференціальних рівнянь 1-го порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція – діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Однорідні рівняння першого порядку.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання.

Конспект лекції № 3

Тема: Однорідні рівняння першого порядку

План лекції № 3

1. Загальний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

2. Приклади розв’язання однорідних рівнянь першого порядку. Задача Коші.

3. Рівняння, що зводяться до однорідних першого порядку.

---

1. Рівняння називається однорідним, якщо може бути приведене до виду .

Рівняння заміною приводиться до нового рівняння:

Можуть виникати наступні з трьох випадків:

1)

2)

3) в деяких точках

Перетворюючи рівняння, отримаємо:

– рівняння з розділяючимися змінними.

Далі, у випадку 1) отримане рівняння має розв’язок.

У випадку 2) маємо

У випадку 3) необхідно перевірити кожний розв’язок, виду .

Отримавши всі розв’язки, оберненою заміною приходимо до загального розв’язку рівняння .

2. Розв’язати рівняння:

А)

загальний розв’язок рівняння.

Б) знайти розв’язок задачі Коші.

---

Перевірка.

- не є розв’язком задачі Коші, але є особовим розв’язком рівняння.

– загальний розв’язок рівняння. З нього, за допомогою початкової умови, виділяємо частинний розв’язок задачі Коші.

– частинний розв’язок задачі Коші.

3. Рівняння вигляду

зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки.

Перший – Проводимо заміну

,

де – нові змінні, – параметри. Тоді

.

Параметри вибираємо згідно системи

.

Так як , то система має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного диференціального рівняння

.

Другий – . В цьому випадку , тобто . Тому

---

.

Заміною диференціальне рівняння приводимо до рівняння з відокремленими змінними

.

Приклад. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну

,

, .

Отже, – загальний розвязок нашого рівняння.

Диференціальне рівняння називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число , при якому ліва частина цього диференціального рівняння стає однорідною функцією від величин в припущенні, що останні мають відповідно виміри: перший, -ий, нульовий , -ий. При маємо просто однорідне рівняння.

В цьому випадку диференціальне рівняння заміною

зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. При рівняння є рівнянням з розділеними змінними. Особливі розвязки таких рівнянь досліджуються аналогічно.

Приклад. Розвязати узагальнено-однорідне диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Знайдемо число для даного випадку

---

Смотрите также файлы

• лекция № 2.doc

• лекция № 1.doc

• лекция № 17.doc

• лекция № 16.doc

• лекция № 15.doc