МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 17

з теми: «Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації сталих розв'язання рівнянь.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.03 Диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації сталих розв'язання рівнянь.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод розв’язання неоднорідних лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, спосіб організації фундаментальної системи розв’язків, загального розв’язку неоднорідного рівняння, навчитись розв'язувати неоднорідні лінійні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами з вільною правою частиною.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

---

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначити лінійне неоднорідне диференціальне рівняння; визначити спеціальну праву частину такого рівняння; пояснити алгоритм знаходження частинного розв’язку для такого рівняння; пояснити алгоритм побудови загального розв’язку для такого рівняння.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації сталих розв'язання рівнянь.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 17.

Тема: Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації сталих розв'язання рівнянь

План лекції № 17.

1. Метод варіації сталих розв'язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.

2. Приклади.

Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа)

Загальний розвязок неоднорідного диференціального рівняння (*) можна знайти в квадратурах, якщо відомо загальний розвязок відповідного однорідного диференціального рівняння. Будемо шукати загальний розвязок диференціального рівняння (*) у вигляді

, (1)

де – деяка фундаментальна система розвязків однорідного диференціального рівняння.

Виберемо функції так, щоб функція (1) була загальним розвязком диференціального рівняння (*). Так як шукані функції задовольняють тільки одній умові, то для їх визначення можна підпорядкувати їх будь яким (n-1) умовам.

Таким чином, знайдемо n похідних функції (1):

;

й покладемо ;

й покладемо;;

………………..

й покладемо ;

й покладемо .

---

Підставляючи (1) в диференціальне рівняння (*) отримаємо n –е рівняння

.

Таким чином, для визначення невідомих функцій отримаємо систему диференціальних рівнянь

. (2)

Відносно – це система лінійних рівнянь з визначником . Для знаходження запишемо формулу

, (3)

де – алгебраїчне доповнення до елементу n-го рядка і i –го стовпчика визначника . Всі функції, які входять в праву частину диференціального рівняння (3) є неперервними на . З (3) отримаємо

, (4)

де – довільні сталі, .

Тоді загальний розвязок диференціального рівняння (*) запишеться у вигляді

. (5)

Тут

(6)

– частинний розвязок диференціального рівняння (*).

Неважко перевірити, що частинний розвязок (6) задовольняє нульовим початковим умовам

.

Приклад 5.16. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Фундаментальна система розвязків для диференціального рівняння буде . Отже

---

.

Тому загальний розвязок запишемо у вигляді ()

,

.

Зокрема, для диференціального рівняння другого порядку

(7)

загальний розвязок запишеться у вигляді

. (8)

При цьому – частинний розвязок диференціального рівняння (7), який задовольняє цьому рівнянню з початковими умовами , .

Для диференціального рівняння виду

, (9)

так як , що випливає з формули Остроградського – Ліувілля, загальний розвязок запишемо у формі

. (10)

Таким чином, для знаходження загального розвязку диференціального рівняння (*) необхідно знайти фундаментальну систему розвязків однорідного рівняння, після чого загальний розвязок запишеться в квадратурах.

Знаходження частинного розвязку лінійного неоднорідного диференціального рівняння n –го порядку методом Коші

Припустимо, що для рівняння відома фундаментальна система розвязків . Побудуємо частинний розвязок даного диференціального рівняння, який задовольняє початковим умовам

. (11)

Цей розвязок буде залежати від , як від параметра . Тут , функція має неперервні частинні похідні по та до n –го порядку включно. Причому, вона є розвязком диференціального рівняння . Крім цього, в силу початкових умов (11), функція задовольняє умовам

---

Смотрите также файлы

• лекция № 16.doc

• лекция № 15.doc

• лекция № 14.doc

• лекция № 13.doc

• лекция № 12.doc