Файл: R4.doc

Для розв'язування задачі Коші необхідно (4.16) підставити в (4.26) і визначити

.

Розв'язок задачі Коші запишеться у вигляді . Якщо розв'язок можна представити у вигляді, то така форма запису називається формою Коші.

В більшості випадків розв'язок диференціального рівняння (4.2) отримуємо у вигляді

Ф(x,y,c₁,…,c_n )=0, (4.27)

який називається загальним інтегралом.

Означення 4.3.Будемо називати (4.27) загальним інтегралом диференціального рівняння (4.2) в областіD, якщо це співвідношення визначає загальний розв'язокдиференціального рівняння (4.2) в областіD.

Означення 4.4.Розв'язок, що визначається співвідношеннями

, (4.28)

називають загальним розв'язком в параметричній формі.

Означення 4.5. Якщо розвязок диференціального рівняння (4.2) складається тільки з точок єдиності розвязку задачі Коші, то такий розвязок будемо називати частинним.

Наприклад, при конкретних розвязок буде частинним.

Означення 4.6.Розвязок, в кожній точці якого порушується єдиність розвязку задачі Коші, будемо називати особливим розвязком.

Рівняння n –го порядку може мати сімейство особливих розвязків, залежних від довільних констант, кількість яких може досягати(n-1).

Приклад 4.1. Знайти особливі розвязки рівняння

.

Розв'язання. Вводимо заміну,– нова змінна. Маємо

. (4.29)

Звідки

,

.

---

Рівняння (4.29) має особливий розвязок, тобто. Тому– сімейство особливих розвязків.

Інтегруючи диференціальне рівняння (4.2) ми приходимо до рівнянь, які не містять вищих похідних, але містять відповідну кількість констант

. (4.30)

Співвідношення (4.30) називається проміжним інтегралом диференціального рівняння (4.2) k – го порядку і представляє собою диференціальне рівняння(n-k)порядку, яке міститьk довільних сталих.

При k=1співвідношення

(4.31)

називається першим інтегралом.

Якщо існує один перший інтеграл, то диференціальне рівняння (4.2) зводиться до інтегрування диференціального рівняння (n-1) –го порядку.

Якщо відомо два перших інтеграли

, (4.32)

то виключаючи з них , приходимо до проміжного інтегралу другого порядку

. (4.33)

Знання k незалежних перших інтегралів дозволяє понизити порядок диференціального рівняння наk одиниць.

Якщо ми маємо nперших інтегралів, то виключаючи з нихми знайдемо загальний інтеграл

. (4.34)

4.4. Крайова задача

Крім задачі Коші існують такі, в яких умови задаються в різних точках. Такі умови називають крайовими або граничними. А відповідна задача – крайовою.

Для рівняння другого порядку

(4.35)

самі простіші граничні умови мають вигляд

. (4.36)

Знаходиться розвязок на [a, b], який задовольняє умовам (4.36). Геометрично – на площині(x, y) розв'язати задачу Коші означає знайти інтегральні криві диференціального рівняння (4.35), які проходять через точки(a, A), (b, B).

---

В більш загальній постановці для диференціального рівняння другого порядку крайові умови можуть мати вигляд

, (4.37)

де числа,.

Приклад 4.2.Розвязати крайову задачу

Розв'язання. Маємо загальний розвязок нашого рівняння. Згідно крайовим умовам

Оскільки система не сумісна, то крайова задача не має розвязку, тобто поставлена не коректно.

Якщо , то,– будь-яка стала. Тобто крайова задача має безліч розвязків.

Тобто крайова задача може не мати розвязку, мати безліч розвязків, мати єдиний розвязок.

Приклад 4.3.Розвязати крайову задачу

.

Розв'язання. Маємо,. Звідки.– єдиний розвязок.

Необхідно відмітити, що крайові умови можуть мати інший вигляд, наприклад

.

4.5. Інтегрування і пониження порядку диференціальних рівнянь з вищими похідними

4.5.1. Диференціальні рівняння, які містять n-у похідну від шуканої функції і незалежну змінну

а). Розглянемо диференціальне рівняння

. (4.38)

Так як , то

---

.

Аналогічно , …..,

. (4.39)

Остання формула дає загальний розв'язок в області

Формулу (4.39) легко використати для знаходження розв'язків задачі Коші з початковими умовами

. (4.40)

Цей розвязок представляється у вигляді

. (4.41)

Функція

є частинним розвязком диференціального рівняння (4.38) з початковими умовами

яким відповідають константи .

Для обчислення використовують формулу Коші

. (4.42)

Дійсно, інтеграл

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 4.1).

Мал. 4.1

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо

.

Аналогічно обчислюємо

.. і. т. д.

Приходимо до формули (4.42). Таким чином, розвязок (4.41) записується у вигляді

---

Загальний розвязок диференціального рівняння (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл

. (4.43)

Приклад 4.4.Розвязати рівняння

.

Розв'язання. Послідовно знаходимо,.

б). Розглянемо випадок

(4.43)

в якому співвідношення (4.43) не можна розв'язати відносно в елементарних функціях або вирази длябудуть досить складними.

Припустимо, що диференціальне рівняння (4.43) допускає параметризацію

, (4.44)

де татакі, що.

Проводимо обчислення

,

.

Аналогічно обчислюємо

.

Остаточно маємо

(4.45)

– загальний розвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких диференціальне рівняння (4.43) легко параметризується

I. , (4.46)

(зокрема можна ввести таку параметризацію);

II., (4.47)

---