Файл: R4.doc

де і-однорідні функції виміруівідповідно.

Покладемо

(4.48)

і розвяжемо рівняння (4.47) відносночерез:.

Підставляючи в (4.48), отримаємо

. (4.49)

Далі вищеописаним способом знаходимо загальний розв'язок в параметричній формі.

Приклад 4.5.Розв'язати рівняння

.

Розв'язання. Зробимо заміну

,

,

,

.

Остаточно маємо

.

---

4.5.2. Інтегрування диференціальних рівнянь, які не містять шуканої функції і -ї похідної

Розглянемо диференціальне рівняння

, (4.50)

в якому є .

Введемо нову змінну

, (4.51)

отримаємо

, (4.52)

тобто ми понизили порядок диференціального рівняння (4.50) на одиниць. Припустимо, що ми розв'язали диференціальне рівняння (4.52) і визначили

. (4.53)

Тоді рівняння

(4.54)

інтегруємо і отримаємо загальний розв'язок

. (4.55)

Якщо замість загального розв'язку (4.53) можна знайти загальний інтеграл

,

то отримаємо диференціальне рівняння типу (4.43).

Розглянемо два частинних випадки відносно диференціального рівняння (4.50).

а). Диференціальне рівняння вигляду

. (4.56)

Якщо диференціальне рівняння (4.56) можна розвязати відносно

, (4.57)

то поклавши перейдемо до рівняння.

Якщо – загальний розвязок останнього рівняння, то остаточно маємо рівняння вигляду (4.38).

---

Припустимо, що диференціальне рівняння (4.55) не можна записати в вигляді (4.57), але воно допускає параметризацію

. (4.58)

То з співвідношення знаходимо.

Звідки

. (4.59)

Диференціальне рівняння (4.59) вигляду (4.44) і його розв'язки можна отримати в параметричній формі.

б). Диференціальне рівняння вигляду

. (4.60)

Нехай диференціальне рівняння (4.60) можна розвязати відносно

. (4.61)

Позначимоі перейдемо до диференціального рівняння

. (4.62)

Помножимо (4.62) на

.

Звідки . Отже

,

з якого визначимо

.

Останнє диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Знайшовши з нього

ми остаточно переходимо до диференціального рівняння вигляду (4.38)

. (4.63)

Припустимо, що диференціальне рівняння (4.60) не можна розв'язати відносно але для нього можлива параметризація.

Запишемо співвідношення

.

---

Помножимо першу рівність на

,

після чого отримаємо

.

Звідки

.

Отже, маємо

.

Приєднавши до останньої рівності ми отримаємо а).

4.5.3. Пониження порядку диференціальних рівнянь, які не містять незалежної змінної

Ці диференціальні рівняння мають вигляд

(4.64)

і їх порядок можна понизити на одиницю заміною .

При цьому стає незалежною зміною, а– шуканою функцією. Обчислюємо

,

…..

і остаточно прийдемо до диференціального рівняння порядку

. (4.65)

Якщо – розвязок диференціального рівняння (4.65), то

. (4.66)

Інтегруємо диференціальне рівняння (4.66) і знайдемо загальний інтеграл.

Особливі розв'язки можуть появлятися при інтегруванні диференціального рівняння (4.66). При переході до диференціального рівняння (4.65) ми можемо загубити розвязки. Для їх знаходження необхідно розв’язати рівняння. Якщо– розвязок останнього рівняння, то– розвязок диференціального рівняння (4.64).

---

Приклад 4.6.Розвязати рівняння

.

Розв'язання. Вводимо змінну,,тоді

,.

Звідки , отже,,

– загальний інтеграл рівняння.

4.5.4. Однорідні диференціальні рівняння відносно шуканої функції і її похідних

Так називаються диференціальні рівняння вигляду

(4.67)

в яких є однорідною функцією відносно, тобто для всіхмаємо

.

Шляхом заміни диференціальне рівняння (4.67) можна понизити на один порядок. Обчислюємо

.

Тому диференціальне рівняння (4.67) прийме вигляд

. (4.68)

Скорочуючи на (приможе бути розвязком диференціального рівняння (4.67)), перейдемо до диференціального рівняння порядку.

Якщо – загальний розвязок останнього диференціального рівняння , то

---