Файл: ПОСОБИЕ_ВычМат.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.06.2025

Просмотров: 1087

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

29

1.2.9.6 Использование команды "Подбор параметра"

Рассмотрим решение примера с использованием команды подбор параметра из меню сервис.

1. В ячейку А5 вводим формулу оценки погрешности

=ABS(СТЕПЕНЬ(5;А6)-6*А6-3)/A4, где A4 = min |f ′(x)|.

x [α ; β ]

2.В ячейку А6 вводим приближенное значение корня из интервала его изоляции, например, –0,5 для отрезка [–1; 0].

3.Делаем ячейку А5 активной. В меню сервис выбираем команду подбор па-

раметра. В окне диалога подбор параметра в поле установить в ячейке уста-

навливаем значение $A$5. В поле значение вводим число, определяющее точность вычислений, например 0,00000001. В поле изменяя значение ячейки вводим ссылку на ячейку А6. Нажимаем кнопку ОК. EXCEL выводит окно результат подбора параметра. Ответ в смотрите в ячейке А6. Аналогично получаем приближенное значение корня на отрезке [1; 2].

Замечание. Команда подбор параметра не всегда обеспечивает требуемую точность вычислений. Можно приближать также значение функции к нулю – иногда это повышает точность вычислений.

1.2.10Решение уравнений средствами MathCAD

Для численного решения нелинейного уравнения f(x)=0 MathCAD имеет встроенную функцию root, которая имеет вид

root(f(х),x,a,b),

где f (х) – левая часть уравнение, х — скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, а, b — границы интервала, на котором находится корень уравнения (необязательные параметры).

Поиск корня уравнения осуществляется итерационным методом с заданной точностью (точность по умолчанию 10-3 ; системная переменная TOL отвечает за точность).

В системе MathCAD выполните следующие действия:

1.Введите уравнение f(x):= 5x − 6 x − 3 ;

2.Введите заданную точность TOL:= 10-7 ;

3.С помощью функции root уточните корень на отрезке [-1;0] root( f (x) , x ,−1 ,0) = −0.4144636 ;

4.Уточните корень на отрезке [1;2]

root( f (x) , x ,1 ,2) = 1.5633283 .

Задания к данной теме приведены в приложении А.

30

2.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1Постановка задачи

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.

a x + a x

2

+ ... + a

x

n

= b , ü

11 1

12

1n

1

ï

a21x1 + a22 x2

+ ... + a2n xn

= b2

,ï

(1)

........................................

ý

ï

a

x + a

n2

x

2

+ ... + a

nn

x

n

= b .ï

n1 1

n þ

Совокупность чисел x1, x2, …,xn, обращающих систему (1) в тождество, называется решением этой системы.

Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две груп-

пы:

1)точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы. Таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и другие;

2)итерационные методы, позволяющие получить корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. К числу их относятся метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и другие.

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

2.2Метод Гаусса

Метод Гаусса распадается на 2 этапа.

Этап 1 носит название прямого хода и представляет собой процесс исключения неизвестных, в результате которого заданная система уравнений (1) приводится к эквивалентной системе (4) треугольного вида за n – 1 шагов. Пусть k – номер шага, k = 1, 2, ..., n–1. На шаге k выполняется исключение неизвестной xk из уравнений системы (1), начиная с k+1 и последующих уравнений. Таким образом, если i – номер уравнения, из которого исключается неизвестная xk, то i = k+1, .., n.

Принято k-е уравнение называть разрешающим, а элемент ak k – разрешаю- щим элементом. Необходимое требование метода akk¹0. В противном случае можно поменять местами k-е уравнение с i-м уравнением (i > k), в котором коэффициент при неизвестной xk отличен от нуля.

Обозначим через ai(kj) преобразованный на k шаге коэффициент в i уравнении при xj неизвестной; bi(k ) – преобразованный на k шаге свободный член i уравнения.

Исключение неизвестной xk из i уравнения системы (1) выполняется путем последовательного вычитания из каждого i уравнения (i = k + 1, ..., n) разрешающего уравнения, умноженного на соответствующий коэффициент ai k и деленного

31

на разрешающий элемент ak k. Итак, коэффициенты i уравнения на k шаге преобразовываются по формулам:

a(k −1)

ai(kj) = ai(kj−1)

–

k j

× ai(kk−1)

,

(*)

ak(kk−1)

b(k −1)

bi(k ) = bi(k −1) –

k

× ai(kk−1) ,

ak(kk−1)

k = 1, 2, ..., n – 1, i = k+1, ..., n, j = k, ..., n.

Например, при k = 1 система (1) преобразовывается к эквивалентной системе (2):

a11x1 + a12 x2 + a13x3... + a1n xn = b1

,ü

(1)

(1)

(1)

(1)

,

ï

,

(2)

a22 x2

+ a23 x3

+ ... + a2n xn

= b2

ý

a(1) x

2

+ a(1) x

+ ... + a(1) x

n

= b(1)

,

ï

32

33

3

3n

n

þ

где ai(1j) = ai j –

a1 j

× ai 1 , bi(1) = bi

–

a1 j

× ai 1 , i = 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n.

a11

a11

Таким образом неизвестная x1 исключена из уравнений 2, 3, ..., n. При k = 2 система (2) преобразовывается к эквивалентной системе (3):

a(1)

где a(2) = ai(1j) - 2 j i j a22(1)

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1

,ü

a(1) x

2

+ a(1) x

+ ... + a(1) x

n

= b(1)

,ï

22

23

3

2n

2

ï

(2)

(2)

xn

(2)

ï

,

(3)

a33 x3

+ ... + a3n

= b3

,ý

............................................ï

a(2) x

+ ... + a(2) x

= b(2)

ï

n

,ï

n3

3

nn

n

þ

× ai(12) , bi(2) = bi(1) -

b2(1)

× ai(12) , i=3, ..., n, j = 2, ..., n.

a22(1)

Таким образом неизвестная x2 исключена из уравнений 3, 4, ..., n. Процедура преобразования повторяется n–1 раз с пересчетом коэффициентов по формулам (*). В итоге на шаге k = n–1 получаем систему (4) треугольного вида:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1,ü

a(1) x

2

+ a(1) x

+ ... + a

(1) x

n

= b(1)

,ï

22

23 3

2n

2

ï

(2)

(2)

xn

(2)

ï

(4)

a33 x3

+ ... + a3n

= b3

,ý

............................................ï

(n−1)

(n−1)

ï

ï

ann

xn = bn

.þ

На этом прямой ход заканчивается.

Этап 2 носит название обратного хода. Из последнего уравнения системы (4) следует определение

32

b(n−1)

xn = n − .

ann(n 1)

Вычисление значений неизвестных выполняется по формулам

1

n

xk =

× (bk(k −1)

- å ak(kj−1) x j ) , k = n–1, ..., 1.

akk(k −1)

j =k +1

2.2.1Алгоритм метода Гаусса

1.Определить значение n – размерность системы линейных уравнений.

2.Определить коэффициенты расширенной матрицы An × (n+1) системы линейных уравнений.

3.Прямой ход. Организовать цикл исключения xk неизвестной: k = 1, 2, …, n–1.

3.1.Организовать цикл, определяющий i уравнение, из которого исключается xk неизвестная: i = k+1, k+2, …, n.

3.1.1.Определить значение вспомогательной переменной d = Aik, равной коэффициенту при неизвестной xk в i уравнении.

3.1.2.Организовать цикл преобразования Аij коэффициентов i уравнения при исключении из него xk неизвестной: j = k, k+1, k+2, …, n+1.

3.1.2.1.Преобразование выполнить по формуле

Aij = Aij – Akj/Akk*d.

3.1.3. Конец цикла по параметру j. 3.2.Конец цикла по параметру i.

4.Конец цикла по параметру k (конец прямого хода).

5.Начало обратного хода. Организовать цикл вычисления значения xk неиз-

вестной по формуле

n

xk = (Ak, n+1 – å Akj x j )/Akk, k = n, n-1, n-2, …, 1.

j=k +1

5.1.Организовать цикл по параметру k: k = n, n–1, n–2, …, 1.

5.1.1.Установить значение xk = Ak, n+1 – равное свободному члену в k уравнении.

5.1.2.Организовываем цикл вычисления разности

n

Ak, n+1 – å Akj x j .

j=k +1

5.1.2.1.Организовать цикл по параметру j = k+1, …, n.

5.1.2.1.1.Вычислить xk = xk – Akj*xj.

5.1.2.2.Конец цикла по параметру j.

5.1.3.Вычислить xk = xk / Akk.

5.2.Конец цикла по параметру k (конец обратного хода).

Смотрите также файлы