Файл: ПОСОБИЕ_ВычМат.pdf

33

6.Печать вектора корней X.

7.Конец вычислений.

2.2.2 Программа решения системы линейных уравнений методом Гаусса

program pGauss; uses crt;

const

n=3; {определяем размерность системы}

{в массиве А записываем расширенную матрицу системы уравнений} A: array [1..n,1..n+1] of real=((1, 0, -1, 0),(-1, -1, 1, 1),(4, 1, 1, 4));

var

X: array [1..n] of real; i,j,k:byte; c,d:real; begin

clrscr;

{начало прямого хода-приведение матрицы к треугольному виду} for k:=1 to n-1 do {начало цикла исключения k-й неизвестной } begin

for i:=k+1 to n do {начало цикла, определяющего i-е уравнение, из которого исключается k-я неизвестная }

begin

d:=A[i,k]; {коэффициент при k-й неизвестной в i-м уравнении }

for j:=k to n+1 do {цикл преобразования коэффициэнтов при исключении k-й неизвестной}

A[i,j]:=A[i,j]-A[k,j]/A[k,k]*d; end;

end;

{начало обратного хода - вычисление значений неизвестных} for k:=n downto 1 do {цикл вычисленя значения k-й неизвестной} begin

X[k]:=A[k,n+1]; {это свободный член в k-м уравнении}

for j:=n downto k+1 do {цикл вычисления значения k-й неизвестной} X[k]:=X[k]-A[k,j]*X[j];

X[k]:=X[k]/A[k,k];

end;

{конец обратного хода; вывод результатов} for k:=1 to n do

writeln('X[',k,']=',X[k]:12:6);

readkey;

end.

37

2.3.2 Программа решения системы линейных уравнений методом итераций

program IterSLU; uses crt;

const n = 4; {порядок системы уравнений}

e = 0.0000000001; {точность приближения}

a:array[1..n, 1..n+1] of real = {расширенная матрица неприведенной системы} ((-0.77,-0.04,0.21,-0.18,-1.24), (0.45,-1.23,0.06,0,0.88), (0.26,0.34,-1.11,0,-0.62), (0.05,-0.26,0.34,-1.12,1.17));

var

x, x0: array[1..n] of real; {для корней системы уравнений и приближений} i, j, k: byte;

p, s, am, bm, t: real; begin

clrscr;

{проверка достаточного условия сходимости процесса итераций: абсолютная сумма недиагональных элементов строки должна быть меньше модуля диагонального коэффициента этой строки}

for i:=1 to n do begin p:=0;

for j:=1 to n do {цикл получения суммы модулей недиагональных элементов} if j <> i then p:=p + abs(a[i, j]);

if abs(a[i, i]) < p then

begin writeln('Итерационный процесс расходится'); readkey; Exit; end; end;

{начать процесс итераций} {привести систему к виду x = ax+b} for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

if j <> i then a[i, j] := -a[i, j]/a[i, i]; a[i, n+1] := a[i, n+1]/a[i, i]; a[i, i]:=0; end;

{вычислить m-норму матрицы системы уравнений и столбца свободных членов}

for i:=1 to n do begin s:=0;

for j:=1 to n do s:=s + abs(a[i, j]);

if i = 1 then begin am:=s; bm:=abs(a[1, n+1]); end else

begin if s > am then am:=s; if abs(a[i, n+1]) > bm then bm:=abs(a[i, n+1]); end; end;

{определить число итераций для достижения заданной точности}

38

k:=round((ln(e)+ln(1-am)-ln(bm))/ln(am)); {установить начальные приближения равные bi} x0[i]:=a[i, n+1];

{цикл вычисления последующих приближений} t:=0;

repeat

for i:=1 to n do {цикл вычисления нового значения корня xi}

begin s:=0; for j:=1 to n do s:=s + a[i, j]*x0[j]; x[i]:=a[i, n+1] + s; end; t:=t + 1; for i:=1 to n do x0[i]:=x[i];

until t > k; writeln('Получено решение');

for i:=1 to n do write(' x[', i, ']=', x[i]:12:7); writeln; writeln('Проверка решения:');

for i:=1 to n do begin

s:=0; for j:=1 to n do s:=s + a[i, j]*x[j]; s:=s + a[i, n+1]-x[i]; write(s:12:9); end;

writeln; readkey;{задержка выполнения программы до нажатия клавиши} end.

2.4 Решение систем линейных уравнений средствами Excel

Решение систем линейных уравнений в Excel выполним, используя механизм

– циклическая ссылка.

Пример. Решить систему линейных уравнений

Метод итераций реализуется следующим алгоритмом.

2.В меню Сервис выбрать команду Параметры. В появившемся окне Па- раметры выбрать вкладку Вычисления, на которой снять флажок Итерации.

3.Выполните распределение ячеек и запись расчетных формул:

–диапазон A5:E8 – расширенная матрица неприведенной системы уравне-

ний (11);

–диапазон A10:D13 – матрица α приведенной системы уравнений:

–диапазон E10:E13 – вектор β свободных членов приведенной системы уравнений:

39

=E5/$A$5 =E6/$B$6 =E7/$C$7 =E8/$D$8

–F5 – требование к точности – значение ε;

–диапазон F10:F13 – сумма модулей элементов строк матрицы α приведенной системы уравнений:

=ABS(A10)+ABS(B10)+ABS(C10)+ABS(D10) =ABS(A11)+ABS(B11)+ABS(C11)+ABS(D11) =ABS(A12)+ABS(B12)+ABS(C12)+ABS(D12) =ABS(A13)+ABS(B13)+ABS(C13)+ABS(D13)

–G10 – формула вычисления m – нормы матрицы α:

=МАКС(F10:F13)

–формула вычисления m – нормы вектора β свободных членов приведенной системы уравнений:

=МАКС(ABS(E10);ABS(E11);ABS(E12);ABS(E13))

–I10 – условие сходимости итерационного процесса:

=ЕСЛИ(G10>1;"нет";"есть")

–G5 – число итераций для достижения заданной точности ε:

=ОКРУГЛ((LN(F5)+LN(1-G10)-LN(H10))/LN(G10);0)

–G16 – счетчик числа итераций:

=G16+1

–диапазон A18:D18 – начальные приближения значений корней:

=ЕСЛИ($G$16=1;E10;A20) =ЕСЛИ($G$16=1;E11;B20) =ЕСЛИ($G$16=1;E12;C20) =ЕСЛИ($G$16=1;E13;D20)

–диапазон A20:D20 – последующие приближения значений корней:

=СУММПРОИЗВ($A10:$D10;$A$18:$D$18)+$E10 =СУММПРОИЗВ($A11:$D11;$A$18:$D$18)+$E11 =СУММПРОИЗВ($A12:$D12;$A$18:$D$18)+$E12 =СУММПРОИЗВ($A13:$D13;$A$18:$D$18)+$E13

–диапазон H5:H8 – проверка решения:

40

=СУММПРОИЗВ(A5:D5;$A$20:$D$20) =СУММПРОИЗВ(A6:D6;$A$20:$D$20) =СУММПРОИЗВ(A7:D7;$A$20:$D$20) =СУММПРОИЗВ(A8:D8;$A$20:$D$20)

4.Выполните расчет:

-в меню Сервис выбрать команду Параметры. В появившемся окне Па- раметры выбрать вкладку Вычисления, на которой установить флажок Итерации;

вполе Предельное число итераций ввести число, обеспечивающее точность вычислений – значение ячейки G5 и нажать кнопку Ок. Выполняется расчет.

5.Конец алгоритма.

Замечания:

1.Если Excel регистрирует циклическую ссылку, следует в появившемся окне нажать кнопку Отмена.

2.Если требуется восстановление исходного состояния для начала процесса итераций, то следует на вкладке Вычисления снять флажок Итерации, а затем выполнить двойной щелчок мышкой по ячейке G16. Ячейка открывается для корректировки, формулу не корректируем, а нажимаем на клавишу Enter. Аналогичные действия выполним для ячеек из диапазона A18:D18.

3.Расчеты с использованием циклической ссылки могут быть выполнены пошагово:

1) В меню Сервис выбираем команду Параметры. В появившемся окне Па- раметры выбираем вкладку Вычисления, на которой устанавливаем флажок Ите- рации, в поле Предельное число итераций вводим число 1 и нажимаем кнопку Ok. Выполняется одна итерация.

2)При каждом нажатии клавиши F9 будет выполняться одна итерация.

2.5Решение систем линейных уравнений средствами MathCAD

Если заданы матрица А и вектор В для системы линейных уравнений в мат-

ричной форме А×Х=В, то вектор решения можно получить из очевидного выражения Х=А-1×В.

В MathCAD введена встроенная функция lsolve(А, В), которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений А×Х=В при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В. Известно, что неоднородная система линейных уравнений совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, т.е. rank(A)= rank(A׀B). Совместная система имеет единственное решение, если rank(A)= rank(A׀B) = n, где n – размерность матрицы А.