Файл: ПОСОБИЕ_ВычМат.pdf

41

Вприложении MathCAD выполните следующие действия:

1.Введите матрицы А и В с помощью кнопки панели инструментов Matrix

2. Вычислите ранг исходной матрицы

rank(A)=4

3.Вычислите ранг расширенной матрицы. Встроенная функция augment(A,B) объединяет две матрицы, имеющие одинаковое количество

строк, в одну

rank(augment(A,B))=4

4. Найдите решение системы матричным методом Х:=А-1×В; 5. Получили результат

ë- 0.65û

6. Найдите решение системы с помощью функции lsolve(А, В)

Х1:=lsolve(А, В)

Задания к данной теме приведены в приложении Б.

42

3 МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

3.1 Понятие о приближении функций

Пусть величина y является функцией аргумента x. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между y и x, т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y = f(x). Наиболее распространенным и практически важным случаем является задание этой связи в виде некоторой таблицы {xi, yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} (i = 0, 1, …, n). На практике нам могут понадобиться значения величины y в других точках, отличных от узлов {xi}. Этой цели служит задача о приближении функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить некоторой функцией ϕ(x) так, чтобы отклонение, в некотором смысле, ϕ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Способы оценки близости приближений порождают различные методы интерполирования и аппроксимации функций.

3.2 Интерполирование функций

Задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n+1 точки x0, x1, …, xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(x0) = y0, f(x1) = y1, …, f(xn) = yn .

Требуется построить функцию ϕ(x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. такую, что

ϕ(x0) = y0, ϕ(x1) = y1, …, ϕ(xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = ϕ(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) (i = 0, 1, …, n).

Полученную интерполяционную формулу y = ϕ(x) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполирования. Если при этом x [x0, xn], то такую операцию называют интерполированием функции f(x), иначе – экстраполировани- ем.

3.2.1 Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке [a, b] даны n+1 различных значений аргумента: x0, x1, …, xn и известны для y = f(x) соответствующие значения:

f(x0) = y0, f(x1) = y1, …, f(xn) = yn .

Требуется построить многочлен Ln(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах x0, x1, …, xn те же значения, что и функция f(x), т. е. такой, что

44

3.2.1.2.Организовать цикл, изменяя параметр j = 0, 1, ..., n.

3.2.1.2.1.Если j¹k вычислить Lk = Lk*(C–xj)/(xk – xj).

3.2.1.3.Конец цикла по параметру j.

3.2.2. Вычислить P = P + yk * Lk. 3.3. Конец цикла по параметру k.

4.Вывод результата P – значение полинома Лагранжа в точке x = C.

5.Конец вычислений.

Программа интерполирования функции полиномом Лагранжа

Program Lagrang; uses crt;

const n=4;

{описание узлов интерполяции}

x:array[0..n] of real = (1.05, 1.09, 1.13, 1.15, 1.17); y:array[0..n] of real = (2.8577, 2.9743, 3.0957, 3.1582, 3.2220); var

k,j:byte;

P,L,c:real; begin

writeln('Введите значение х - точку для интерполирования'); readln(c);

P:=0; {для результата интерполирования}

{вычисление значения полинома Лагранжа в точке x=c} for k:=0 to n do

begin L:=1;

for j:=0 to n do if j<>k then

L:=L*(c-x[j])/(x[k]-x[j]); P:=P+y[k]*L;

end;

write('x=',c:7:2,' P=',P:7:4);

writeln(', табличное значение=',exp(c):7:4); readkey;

end.

3.2.2 Интерполяционные формулы Ньютона

Рассматриваемые здесь интерполяционные формулы Ньютона используются в случае равноотстоящих значений аргумента, т. е. xi+1 – xi = h = const (i = 0, 1, ..., n). Величина h называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть функция y = f(x) задана табличными значениями yi = f(xi) для системы равноотстоящих точек xi.

Разностями первого порядка функции называются выражения вида

45

∆yi = yi+1 – yi (i = 0, 1, …, n–1).

Разностями второго порядка функции называются выражения вида

∆2yi = ∆(∆yi )= ∆yi+1 – ∆yi (i = 0, 1, …, n–1).

Аналогично составляются разности порядка k

∆kyi = ∆(∆k–1yi )= ∆k–1yi+1 – ∆k–1yi (i = 0, 1, …, n–1).

Отметим, что для вычисления k-ой разности ∆kyi нужно знать k+1 членов y: yi+1, ...

yi+k данной последовательности.

Перейдем теперь к построению интерполяционного многочлена Ньютона. В соответствии с задачей интерполирования функции требуется подобрать многочлен Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках xi значения

Задача состоит в определении коэффициентов ak (k = 0, 1, …n) многочлена Pn(x). Полагая в формуле (5) x = x0, получаем

Pn(x0) = a0,

откуда, с учетом значения многочлена (4), a0 = y0.

Полагая в формуле (5) x = x1, получаем

Pn(x1) = a0 + a1(x1 – x0) = a0 + a1h = y1,

откуда

Полагая в формуле (5) x = x2, получаем

Pn(x2) = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) = a0 + 2a1h + 2a2h2 = y2,

откуда

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид