Файл: математика Раздел1 практика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2025

Просмотров: 868

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

или

x y 1 0 .

Задания для решения:

1.

Составить уравнения прямых, отсекающих на оси Оу отрезок b = 2 и

наклоненных

к

оси

Ох

соответственно

под

углами

1

300

,

2

450 ,

3

1350.

2.

Уравнения

прямых:

3х – у + 2 = 0; 4х + 2у – 5 = 0;

2х + 7у = 0

привести к виду уравнений с угловыми коэффициентами.

3.

Построить

прямые,

заданные

уравнениями:

x y 2 0, x y 5 0, 2 y 3 0, 4x 7 0, 3x 2 y 0.

4.Определить параметр b, при котором прямая у = 2х + b отсекает на оси Ox отрезок а = 3.

5.Дан треугольник с вершинами Р (–4, 0), Q (0, 4), R (2, 2). Написать уравнения его медиан.

6.Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами Р (2, 1),

Q (0, 7), R (–4, –1).

21

Тема 1.7 Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Условие

Условие

Расстояние от точки до

параллельности

перпендикулярности

прямой

прямых l1 l2

прямых

l1

l1

l2

l

l2

A1

B1

l1

l2

A1 A2 B1 B2

d

A x0 B y0 C

A2 B2

l

|| l

, или

1

2

1

A2

B2

или k1

k2

k1

k2

Угол между двумя прямыми

l1

l2

tg

k2

k1

1

k1 k2

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти угол между прямыми:

y

2

x

3;

y

3

x

2

.

5

7

7

РЕШЕНИЕ:

Подставляя в формулу tg

k2

k1

значения k1

2

, k

3

, получим

1 k1

k2

5

2

7

3

2

29

7

5

35

0

tg

29

1,

45 .

2

3

1

35

5

7

ПРИМЕР Составить уравнение пучка прямых, проходящих через точку М (4, –5). Среди пучка прямых выбрать прямую, параллельную прямой

22

2х – 3у + 6 = 0, и прямую, перпендикулярную ей. РЕШЕНИЕ:

Так как координаты точки М

известны, т.е. x1 4, y1

5, то

воспользовавшись уравнением y

y0

k (x

x0 ) , получим

y

5

k (x

4) ,

где k может принимать любые действительные значения. Данное уравнение является уравнением пучка прямых, проходящих через точку М. При каждом фиксированном значении k получаем вполне определенную прямую. Среди этого множества прямых выберем ту, которая параллельна прямой 2х – 3у + 6 = 0. Разрешив последнее уравнение относительно у, получим

y

2

x 2

,

3

откуда k

2

, где k – угловой коэффициент данной прямой. Искомая прямая

3

будет также иметь угловой коэффициент

k

2

, т.к. прямые параллельны.

3

Подставляя это значение k в уравнение пучка, находим уравнение искомой прямой:

y 5

2

(x 4); 3y 15 2x 8

3

или окончательно

2х – 3у – 23 = 0.

Прямая, перпендикулярная прямой 2х – 3у + 6 = 0, получается из уравнения пучка при k 32 (это значение k найдено из условия перпендикулярности

k

1

). Следовательно, вторая искомая прямая определяется уравнением

1

k2

y 5

3

(x 4)

2

или

3х + 2у – 2 = 0.

ПРИМЕР Написать уравнения сторон и высот треугольника с вершинами

Р (–4, 3), Q (2, 5), R (6, –2).

РЕШЕНИЕ:

Напишем

уравнение стороны PQ.

Для

этого

подставим в

уравнение

x

x1

y

y1

следующие

значения:

x1

4, y1 3, x2

2, y2 5.

x2

x1

y2

y1

Получаем

y

3

x

4

5

3

2

4

или

23

y

x

13

.

3

3

Из этого уравнения вытекает,

что kPQ

1

, где через kPQ

обозначен угловой

3

коэффициент прямой PQ.

Чтобы получить уравнение прямой QR, необходимо подставить в уравнение

x

x1

y

y1

значения x

2, y

5, x

6,

y

2. Тогда получаем

2

x2

x1

y2

y1

1

1

2

y

5

x

2

2

5

6

2

или

y

7

x

17

,

4

2

откуда угловой коэффициент прямой kQR

7

.

4

Аналогичным образом найдем уравнение прямой PR. Имеем

y

3

x

4

,

y

1

x

1,

2

3

6

4

2

откуда

kPR

1

.

2

Высота, опущенная из точки R (6, –2) на сторону PQ, определяется

уравнением

y

y0

k

(x

x0 ) . В

данном

случае: x1

6,

y1

2, k

3

(значение

k

получено

из

условия

перпендикулярности

двух

прямых:

k

1

,

k

k

1

).

Подставляя

эти

значения

в

уравнение

2

PQ

1

k2

3

y

y0 k

(x

x0 ) , получим

у + 2 = –3(х – 2) или 3х + у – 16 =0.

Уравнение

высоты,

опущенной

из

вершины

Q (2,

5),

определяется

следующими данными: x1

2, y1

5, k

2 (так как

эти значения в уравнение y

y0

k (x

x0 ) , получим

у – 5 = 2(х – 2) или 2х – у – 1 =0.

Аналогично найдем уравнение третьей высоты:

1

kPR 2 ). Подставляя

y 3

4

(x 4), 4x 7 y 37 0.

7

ПРИМЕР Дан треугольник с вершинами Р (0, 5), Q (–3,1), R (–1, –2). Найти длину высоты, опущенной из точки R.

РЕШЕНИЕ:

24

Смотрите также файлы