Файл: Решение уравнений.pdf

11

Рис. 3. Геометрическая интерпретация итерационного процесса для уравнения x = ϕ ( x ) при ϕ ′( x ) > 0 .

В случае ϕ ′(x) < 0 кривые для ϕ ′(x) < 1 и ϕ ′(x) > 1 приведены на рис. 4 и

представляют соответственно сходящийся и расходящийся процессы с колебаниями вокруг истинного значения корня.

y=ϕ(x)

Рис. 4. Геометрическая интерпретация итерационного процесса

для уравнения x = ϕ ( x ) при ϕ ′( x )< 0: а) – для ϕ ′( x ) < 1; б) – для ϕ ′( x ) > 1 .

Уравнение (1) можно записать в виде равенства (8), выбирая различным образом функцию y = ϕ ( x ) . Для метода итераций выгодно то представление (8), при котором выполнено неравенство (11), причем, чем меньше q, тем быстрее, вообще говоря, последовательные приближения сходятся к корню (это следует из оценки приближения (12)).

Рассмотрим достаточно общий прием приведения уравнения (1) к виду (8),

для которого обеспечено выполнение неравенства (11). Пусть искомый корень ξ уравнения лежит на отрезке [a; b], причем, f '(x)>0 и

при a ≤ x ≤ b. В частности, за m можно взять наименьшее значение производной f '(x) на отрезке [a; b], а за M – наибольшее значение f '(x) на отрезке [a; b]. Если производная f '(x) на отрезке [a; b] отрицательна, то вместо уравнения f(x) = 0 рассматриваем уравнение –f(x) = 0. Заменим уравнение (1) эквивалентным ему уравнением

Правая часть в полученном уравнении в соответствии с (8) есть функция

ϕ(x)= x – λf(x).

Тогда

ϕ '(x) = 1 – λf '(x).

Подберем параметр λ таким образом, чтобы на интервале [a; b] выполнялось неравенство (11), т.е.

0 ≤ ϕ '(x) = 1 – λf '(x) ≤ q < 1. Отсюда и на основании неравенства (13) получаем

0 ≤ 1 – λM ≤ 1 – λm ≤ q < 1.

Тогда, выбрав

получим

q = 1 – Mm < 1,

и неравенство (11) выполнено.

Замечания:

1.За число q в теореме 3 можно принять наименьшее значение модуля производной |ϕ ' (x)| при a < x < b.

2.В случае ϕ '(x) < 0 и |ϕ '(x)| < 1 имеет место неравенство

3. В общем случае, из выполнения неравенства |xn – xn–1| < ε не следует выполнение неравенства |ξ – xn| < ε (см. рис.5).

y

13

Рис. 5. Пример, что при xn − xn-1 < ε имеет место неравенство ξ − xn > ε .

4. Упрощенная оценка (16) может быть использована для случая ϕ '(x) < 0 и |ϕ '(x)| < 1. Если же ϕ '(x) > 0 и ϕ '(x) < 1, то, вообще говоря, оценку (16) использовать нельзя. Но учитывая, что в этом случае последовательные приближения

xn = ϕ(xn–1), n = 1, 2, …, x0 [a; b]

сходится к корню ξ монотонно, можно организовать сужение интервала [a; b], последовательно получая приближения корня с недостатком и избытком. Тогда возможно применение оценки приближения (16).

1.2.4.1 Алгоритм метода итераций

Вычислительная схема решений имеет вид

xi = x0, x0 [a; b]

xi+1 = ϕ(xi), i = 1, 2, …

и сводится к организации циклического процесса с неизвестным числом повторений до выполнения заданного уровня точности, который может быть оценен неравенством (12) или применением упрощенной оценки (16).

Выполним уточнение корня на отрезке [a; b], применив следующий алгоритм.

1. Установить значения a, b, ε – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2. Определить точку (η, M = max| f ' ( x )|).

x [α ; β ]

3.Установить начальное значение x0 [a; b].

4.Вычислить λ = sgn f '(η) M2 .

5.Начать цикл уточнения корня.

Вычислить очередное приближение x1 = x0 – λf(x0). Вычислить d = |x1 – x0|.

Принять x0 = x1.

6.Конец цикла, если d < ε .

7.Вывод результата x1.

8.Конец алгоритма.

Замечание. Выполнение п.4 алгоритма обеспечивает удовлетворение требований ϕ '(x) < 0 и |ϕ '(x)| < 1, при которых может быть применена упрощенная оценка (16).