Файл: Решение уравнений.pdf

17

f ′(x) > 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) выпуклый;

f ′(x) < 0 и f ′′(x) > 0 –функция f(x) убывающая, график f(x) вогнутый. Следовательно, сужение интервала изоляции корня возможно изменением

только одной из его границ, а именно, если приближенное значение x корня ξ выполнено с недостатком, то принять a = x , иначе b = x .

Оценить погрешность результата можно, используя следующее соотноше-

1.2.6.1Алгоритм метода хорд

1.Установить значения a, b, ε – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2.Выполнить проверку применимости метода: если sgn f(a)= sgn f(b), то ме-

тод не применим, конец вычислений. Иначе 3. Установить вариант сужения интервала изоляции корня:

если sgn f '(a)= sgn f ''(a), то v = 1 – вариант с недостатком иначе v = 2 – вариант с избытком.

5.2. Вычислить оценку для приближения и выполнить сужение интервала изоляции корня:

если v = 1, то d = x – a; a = x, иначе d = b – x; b = x.

6. Конец цикла, если d < Mm m ε .

−

7.Вывод результата x.

8.Конец алгоритма.

1.2.7Комбинированный метод

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень уравнения (1), функция f(x) дважды дифференцируема, а f ′(x) и f ′′(x) сохраняют постоянные знаки на указанном интервале.

Комбинированный метод соединяет в себе метод хорд и метод Ньютона и позволяет на каждом этапе находить значения по недостатку x1 и значения по избытку x2 точного корня ξ уравнения (1). Тогда сужение отрезка изоляции корня можно выполнять, принимая a = x1, b= x2 . Если:

18

1) f ′(x) > 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) вогнутый или f ′(x) < 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) выпуклый, то x1 вычисляется по методу хорд (20), а x2 – по методу Ньютона (18);

2) f ′(x) > 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) выпуклый или f ′(x) < 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) вогнутый, то x1 вычисляется по методу Ньютона (18), а x2 – по методу хорд (20).

Погрешность комбинированного метода на n-ом шаге определяется неравенством

|ξ – x | < bn – an,

где x = 21 ( bn + an).

1.2.7.1 Алгоритм комбинированного метода

1.Установить значения a, b, ε – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2.Выполнить проверку применимости метода: если sgn f(a)= sgn f(b), то ме-

тод не применим, конец вычислений. Иначе 3. Установить вариант расчета:

4.Начать цикл уточнения корня.

4.1.Выполнить сужение интервала изоляции корня: если v = 1, то

5.Конец цикла, если b – a < ε .

6.Вывод результата x = a +2 b .

7.Конец алгоритма.

1.2.8Пример решения уравнения

Пример. Средствами электронной таблицы Excel графически определите приближенное место расположения корней уравнения 5 x − 6 x − 3 = 0 . Уточните в MS Excel корни уравнения 5 x − 6 x − 3 = 0 методом половинного деления, методом Ньютона, методом хорд, комбинированным методом и методом итераций с точностью ε = 10-7, используя язык программирования Visual Basic For Application (VBA), циклическую ссылку MS Excel, а также решите уравнение средствами MathCAD.

20

x = (a + b) / 2 sgnx = Sgn(f(x)) If sgnx = 0 Then Exit Do

Else

If sgna = sgnx Then a = x

Else b = x End If End If

Loop Until (b - a) < e

MsgBox x, , "Корень уравнения на отрезке[" & c & ", " & d & "]" Else

MsgBox "Метод половинного деления не применим" End If

End Sub

Результаты работы программы: 1

Исходные данные:

Результат:

2

Исходные данные: