Файл: Решение уравнений.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (0,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.07.2025

Просмотров: 227

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.2.5 Метод Ньютона

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень уравнения (1), функция f(x) дважды дифференцируема, а f ′(x) и f ′′(x) сохраняют постоянные знаки на указанном интервале.

В методе Ньютона точное значение ξ корня уравнения (1) заменяется приближенным значением x [a; b], где x – абсцисса пересечения касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке С [a; b]. Уравнение этой касательной

y – f(С) = f ′(С)(x – С).				(17)
Так как при x = x y = 0, то из (17) получаем
		f ( C )
	= С –		.	(18)
x
		f ' ( C )

Остается решить вопрос о выборе точки С таким образом, чтобы x [a; b]. Выбор точки С определяется четырьмя случаями, изображенными на рис. 6.

		y
			f(x)
			a		C=b
		0	a	ξ			x
			y
y		2) f ′(x)<0, f ′′(x)<0,					x
		2) f ′(x)<0, f ′′(x)<0,
			C=b, f(C)<0
			f(x)
					f(x)
			a
0	a	ξ	0	b	С=b	x
		ξ	y		x
			1) f ′(x)>0, f ′′(x)>0, C=b, f(C)>0
		3) f ′(x)>0, f ′′(x)<0,
			x
		C=a, f(C)<0
					ξ	b	x x
			0	a		b	x x
				4) f	Рис. 6
				4) f	′(x)<0, f ′′(x)>0,

C=a, f(C)>0

Обычно принимают C = a или C = b, смотря по тому, в какой из этих точек знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. выбирают так, чтобы произведение sgn f(C) × sgn f ¢¢ (C) было положительно. Можно показать, что в этом случае a < x < b. Полученное значение x можно использовать для дальнейшего уточнения корня, беря интервал [a x ] (случаи 1 – 2) или интервал [ x ; b] (случаи 2 – 4).

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в замене дуги y = f(x) касательной, проведенной к одной из крайних точек так, что имеет место итерационная формула

xk = xk–1 –	f ( xk − 1 )	(k = 1, 2, …),
	f ' ( xk − 1 )

основанная на формуле (18).

Для оценки погрешности в методе Ньютона можно воспользоваться форму-

лой

	\|xk – z\| £	M	\|xk – xk–1\|2 ,
	\|xk – z\| £	2m	\|xk – xk–1\|2 ,
		2m
min	max
где m = x [α ;	β ] \|f ¢(x)\|, M = x [α ;β ] \|f ¢¢(x)\|.

1.2.5.1Алгоритм метода Ньютона

1.Установить значения a, b, e – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2.	Определить точку (h, M = max \| f '' ( x ) \| ).
		x [ a ; b ]
3.	Вычислить m =	min
		x [ a ; b ] \|f '(x)\|.

4. Установить начальное приближение x0 Î [a; b]:

если sgn f ''(h) = sgn f(a), то	x0 = a,
иначе	x0 = b.

5.Начать цикл уточнения корня.

5.1.Вычислить очередное приближение x1 = x0 –

5.2.Вычислить d = (x1 – x0)2.

5.3.Принять x0 = x1.

6.Конец цикла, если d < 2Mm e .

7.Вывод результата x1.

8.Конец алгоритма.

f ( x0 ) . f ' ( x0 )

1.2.6 Метод хорд

Метод заключается в том, что на интервале [a;b] отделения корня ξ уравнения (1) дуга кривой y = f(x) заменяется стягивающей ее хордой и в качестве приближенного значения корня x принимается точка пересечения хорды с осью абсцисс (рис. 7).

Уравнение хорды определяем как уравнение прямой, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)), имеющее вид

B(b, f(b)) f(b)

	α
0	ξ	β	x
f(a)	A(a, f(a))
	A(a, f(a))

x −	a	=	y − f ( a )	.
b −	a		f ( b ) − f ( a )
			(19)

Если x = x , то y = 0, тогда из (19) следует

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода хорд

x − a	= −	f ( a )	,
b − a		f ( b ) − f ( a )

откуда находим приближенное значение корня

x = a –	f ( a )	(b – a).	(20)
	f ( b ) − f ( a )

Для нахождения последующих приближений определяется отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки. Если sgn f(a) = sgn f( x ), то полагается a = x , иначе b = x и повторяются вычисления по формуле (20).

Замечание. Вычисление приближенного значения x корня ξ уравнения (1)

выполняется с недостатком, т. е. x – ξ < 0, если на отрезке [a; b] имеют места неравенства:

f ′(x) > 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) вогнутый;

f ′(x) < 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) выпуклый.

Вычисление приближенного значения x корня ξ уравнения (1) выполняется с избытком, т. е. x – ξ > 0, если на отрезке [a; b] имеют место неравенства: