Файл: Решение уравнений.pdf

29

−I5 – значение функции в точке x. Введите формулу =5^G5-6*G5-3;

−J5 – значение d. Введите формулу =(G5-F5)^2;

−K5 – погрешность вычислений. Введите формулу =2*E5*0,0000001/D5.

2.Выполните расчет.

3.Конец алгоритма.

1.2.9.4Метод хорд

Втаблице Excel выполним следующие действия.

1.Выполните распределение ячеек и запись расчетных формул:

−диапазон B5:B15 – значения производной f '(x). В ячейку B5 введите формулу =LN(5)*5^A5-6 и распространите ее на указанный диапазон;

−диапазон C5:C15 – значения второй производной f ''(x). В ячейку C5 введите формулу =LN(5)*5^A5*LN(5) и распространите ее на указанный диапазон;

−D5 – максимальное значение модуля второй производной max |f ''(x)|. Введите формулу =ЕСЛИ(C5<0;ABS(МИН(C5:C15));МАКС(C5:C15));

−E5 – минимальное значение модуля производной min |f '(x)|. Введите формулу=ЕСЛИ(B5<0;ABS(МАКС(B5:B15));МИН(B5:B15));

−F5 – определить вариант v расчета. Введите формулу =ЕСЛИ(ЗНАК(B5)=ЗНАК(C5);1;2). Если совпадают знаки первой и второй произ-

водной функции f(x), то принимаем v =1 – расчет приблизительного значения корня с недостатком, иначе v = 2 – расчет приблизительного значения корня с избытком.

−G5 –начало интервала изоляции корня, a. Введите формулу

=ЕСЛИ(J5=0;A5;ЕСЛИ(F5=1; I5;G5)).

Если число итераций J5=0, то значение для a устанавливается равным началу отрезка отделения корня, иначе, если вариант расчета v = 1 – значению x, в других случаях значение a не изменяется;

−H5 – конец интервала изоляции корня, b. Введите формулу

=ЕСЛИ(J5=0;A15;ЕСЛИ(F5=2; I5;H5)).

Если число итераций J5=0, то значение для a устанавливается равным началу отрезка отделения корня, иначе, если вариант расчета v = 2 – значению x, в других случаях значение b не изменяется;

−I5 – приближенное значение корня. Введите формулу

=G5-(5^G5-6*G5-3)*(H5-G5)/(5^H5-6*H5-3-(5^G5-6*G5-3));

−J5 – счетчик числа выполненных итераций. Введите формулу =J5+1;

−K5 – значение функции в точке x. Введите формулу =5^I5-6*I5-3;

−L5 – значение d. Введите формулу =ЕСЛИ(F5=1;I5-G5;H5-I5);

−M5 – погрешность вычислений. Введите формулу

=E5*0,0000001/ABS((D5-E5)).

2.Выполните расчет.

3.Конец алгоритма.

30

1.2.9.5Комбинированный метод

Втаблице Excel выполним следующие действия.

1.Выполните распределение ячеек и запись расчетных формул:

−диапазон A5:A6 – значения аргумента: a = –1; b = 0;

−диапазон B5:B6 – значения производной f '(x). В ячейку B5 введите формулу =LN(5)*5^A5-6 и распространите ее на указанный диапазон;

−диапазон C5:C6 – значения второй производной f ''(x). В ячейку C5 введите формулу =LN(5)*5^A5*LN(5) и распространите ее на указанный диапазон;

−D5 – определить вариант расчета v. Введите формулу =ЕСЛИ(ЗНАК(B5)=ЗНАК(C5);1;2). Если совпадают знаки первой и второй произ-

водной функции f(x), то принимаем v =1, иначе v = 2;

− E5 – начало интервала изоляции корня, a. Введите формулу

=ЕСЛИ(H5=0;A5;ЕСЛИ(D5=1; E5-(5^E5-6*E5-3)*(F5-E5)/(5^F5-6*F5-3-(5^E5- 6*E5-3));E5-(5^E5-6*E5-3)/(LN(5)*5^E5-6))).

Если число итераций H5=0, то значение для a устанавливается равным началу отрезка отделения корня, иначе, если вариант расчета v = 1 – значение a рассчитывается по формуле хорд, в других случаях значение a рассчитывается по формуле Ньютона;

− F5 – b, конец интервала изоляции корня. Введите формулу

=ЕСЛИ(H5=0;A6;ЕСЛИ(D5=2; F5-(5^F5-6*F5-3)*(F5-E5)/(5^F5-6*F5-3-(5^E5- 6*E5-3));F5-(5^F5-6*F5-3)/(LN(5)*5^F5-6))).

Если число итераций H5=0, то значение для b устанавливается равным концу отрезка отделения корня, иначе, если вариант расчета v = 2 – значение b рассчитывается по формуле хорд, в других случаях значение b рассчитывается по формуле Ньютона;

−G5 – приближенное значение корня. Введите формулу =(E5+F5)/2;

−H5 – счетчик числа выполненных итераций. Введите формулу =H5+1;

−I5 – значение функции в точке x. Введите формулу =5^G5-6*G5-3;

−J5 – значение d – погрешность вычислений. Введите формулу

=F5-E5.

2.Выполните расчет.

3.Конец алгоритма.

1.2.10Решение уравнений средствами MathCAD

Для численного решения нелинейного уравнения f(x)=0 MathCAD имеет встроенную функцию root, которая имеет вид

root(f(х),x,a,b),

где f (х) – левая часть уравнение, х — скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, а, b — границы интервала, на котором находится корень уравнения (необязательные параметры).

31

Поиск корня уравнения осуществляется итерационным методом с заданной точностью (точность по умолчанию 10-3 ; системная переменная TOL отве-

чает за точность).

В системе MathCAD выполните следующие действия:

1. Введите уравнение f(x):= 5x − 6 x − 3 ;

2.Введите заданную точность TOL:= 10-7 ;

3.С помощью функции root уточните корень на отрезке [-1;0]

root( f (x) , x , − 1 , 0) = − 0.4144636 ;

4. Уточните корень на отрезке [1;2] root( f (x) , x , 1 , 2) = 1.5633283 .

Задания к данной теме приведены в приложении.

32

ПРИЛОЖЕНИЕ

Средствами электронной таблицы Excel графически определите приближенное место расположения корней уравнения f(x) = 0. Составьте алгоритмы уточнения корня уравнения f(x) = 0 методом половинного деления, методом Ньютона, методом хорд, комбинированным методом и методом итераций с точностью ε = 10-7 . Уточните в MS Excel корни уравнения f(x) = 0 этими методами, используя язык программирования Visual Basic For Application (VBA), циклическую ссылку MS Excel, а также решите уравнение средствами MathCAD.