Файл: 72.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.08.2025

Просмотров: 407

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из выражений (3.50) следует, что характеристическое

сопротивление

линии

передачи,

вообще

говоря,

комплексно

(Zc = Rc + iXc) и

зависит

от частоты,

причем

для E- и

H- волн эта

зависимость различна. Для Т-волны k|| = k и ее характеристическое сопротивление от частоты не зависит. На рис. 3.7 показана частотная

зависимость

характеристических сопротивлений

Zce

(кривая

1),

Zcm

(кривая 2) и Zct (кривая 3) для k = const и

= 0. При

k > k

характеристическое сопротивление действительно

(Zc = Rc),

т.

е.

поперечные

составляющие электрического и

магнитного

полей

находятся в фазе. На частотах ниже критической (k < k ) характеристическое сопротивление реактивно (Zc = iXc), т. е. указанные составляющие сдвинуты по фазе на 90°, причем для E-волн Xc > 0 (индуктивное сопротивление), а для H-волн Xc < 0 (емкостное сопротивление). Характеристическое сопротивление ЛП с потерями комплексно на всех частотах.

Запишем выражения для электромагнитного поля Е-волн (3.45) – (3.46) в проекциях на оси обобщенно-цилиндрической системы

координат x1, x2, z. Учитывая,

что

для падающей волны

i k ,

найдем

i k

e

Ee

e

i k z ;

1

g1

x1

i k

e

E2e

e

i k z ;

(3.51)

g2

x2

Ee

k 2 e e i k z ;

z

i k

e

H e

e i k z ;

1

Z0 g2

x2

i k

e

H2e

e i k z ;

(3.52)

H e

Z0 g1

x1

0.

z

Для поля Н-волн получим аналогичные выражения с помощью принципа перестановочной двойственности:

Отформатировано: По правому краю

93

i kZ0

m

E

e

e

i k z

;

1

g2

x2

i kZ0

m

Ee

e i k z ;

(3.53)

2

g1

x1

Ee

0.

z

i k

m

H e

e

1

g1

x1

i k

m

H e

e

2

g2

x2

i k z

i k z

;

;

(3.54)

H e

k 2 m e i k z ;

z

Полученные формулы позволяют анализировать зависимости различных составляющих электромагнитного поля от координат, а также построить картины силовых линий (эпюры) векторов E и H, позволяющие наглядно представить распределение поля в ЛП. Силовой линией (линией тока) векторного поля называют кривую, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора поля в этой точке. Из этого определения следует, что силовые линии в ортогональной системе координат удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Отформатировано: По ширине,

Отступ: Первая строка: 1,27 см

g1dx1

g2dx2

g3dx3

.

(3.55)

A1

A2

A3

Более подробные сведения об уравнениях силовых линий содержатся в Отформатировано: По ширине приложении 8.

Уравнения (3.55), как правило, приходится решать численно3. Однако, приближенную картину силовых линий в поперечном сечении волновода можно построить и без решения этих уравнений. Это построение целесообразно начинать с изображения поля, которое для данного типа волны не имеет продольной составляющей, так как его силовые линии лежат в плоскости поперечного сечения волновода. Так, для Е-волн уравнение силовых линий магнитного поля имеет вид (П5.2): e = C1, т. е. силовые линии поля H в данном случае — это линии уровня мембранной функции.

3 Именно таким способом рассчитаны и построены все приведенные в книге эпюры силовых линий.

94

Построив силовые линии вектора Н, легко изобразить проекции силовых линий вектора E на плоскость поперечного сечения волновода, воспользовавшись ортогональностью векторов E и Н . Аналогично строятся эпюры силовых линий и для H- волн.

3.6. Граничные условия для мембранной функции

Определим граничные условия, которым должна удовлетворять мембранная функция на поверхности раздела сред, образующих линию передачи. Поскольку в качестве таких сред используются диэлектрики и металлы, рассмотрим поверхности раздела между двумя диэлектриками и между диэлектриком и металлом, считая его идеально проводящим. Полагаем также, что поверхностные токи и заряды отсутствуют.

На поверхности раздела двух диэлектриков S (рис. 3.8) касательные составляющие полей должны быть непрерывны (см. раздел 1.4):

Отформатировано: По ширине

e0 (E2

E1 ) 0; e0

(H2 H1) 0.

Каждое

из

этих

векторных

Отформатировано: По ширине

равенств

сводится

к

двум

скалярным:

E1 ez

E2

ez

0;

E1

el

E2

el

Рис. 3.8. К выводу граничных условий

0;

(3.56)

для мембранной функции

H1

ez

H2

ez

0;

H1

el

H2

el

0,

(3.57)

где el — орт касательной к поверхности раздела, лежащий в плоскости Отформатировано: По ширине поперечного сечения ЛП.

В общем случае электромагнитное поле падающей волны в ЛП представляет собой суперпозицию E- и H-волн:

E

(

ik

e

k2

ee

z

i

me

z

) e i k z ;

(3.58)

H

(

ik

m

k2

mez

i

eez ) e i k z .

(3.59)

Найдем проекции этих векторов на указанные направления:

E e

z

k 2 e e i k z ;

95

E e

l

[ i k (

e e

l

k 2

ee

z

e

l

i

(

me

z

) e

]e i k z

l

[ i k

e / l i

m

(e

z

e

)]e

i k z

( i k

e / l i

m / n) e i k z .

l

Здесь / n и / l — производные по нормали и касательной к контуру поперечного сечения поверхности раздела L. (см. рис. 3.8). Аналогичные формулы справедливы и для проекций вектора H:

Отформатировано: По ширине

H e

z

k 2 m e i k z ;

H e ( i k m / l i

e / n) e i k z .

l

Подставив полученные выражения

в

равенства

(3.56), (3.57),

Отформатировано: По ширине

получим

k 2

m

k

2

m ;

(3.60)

1

1

2

2

k

2

e

k 2

e

;

(3.61)

1

1

2

2

e

m

e

m

k

1

1

k

2

2

;

(3.62)

1

2

l

n

l

n

m

m

m

m

k

1

1

k

2

2

.

(3.63)

1

2

l

n

l

n

В этих выражениях индексами 1 и

2

обозначены

величины,

Отформатировано: По ширине

относящиеся к первой и второй средам, соответственно.

Анализ полученных граничных условий показывает, что в общем

случае E- и H-волны в линии передачи не разделяются. Такие волны

называют смешанными или гибридными, обозначая их символами EH

или HE в зависимости преобладания

продольной

составляющей

электрического или магнитного поля.

Однако, если

e/

l =

m/

l = 0. (функции e

и

m имеют

постоянные значения на контуре поверхности раздела), граничные

условия (3.62) и (3.63) разделяются. Это означает, что в данном случае

E- и H-волны могут существовать в ЛП независимо друг от друга и

уравнения (3.25) можно решать для каждого типа волн отдельно.

На

поверхности

идеального

проводника

касательная

составляющая электрического поля обращается в нуль

k 2 e

0; k

e / dl

m / dn

0.

(3.64)

96

Индексы, обозначающие среду, здесь опущены, так как во второй среде (металле) поле отсутствует.

Из первого равенства следует, что при k 0 функция e должна обращаться в нуль на контуре L металлической поверхности ЛП. Таким образом для E-волн в металлических ЛП должно выполняться граничное условие

e = 0 на L.

(3.65)

Очевидно, что и

e/ l = 0 на L. Тогда из второго равенства (3.64)

получаем граничное условие для H-волн

m/ n = 0 на L.

(3.66)

Волны типа T можно рассматривать как частные случай E-волн

при k = 0. В

этом случае первое условие (3.64)

выполняется

тождественно, а из второго условия следует(функция

m для E-волн

тождественно равна нулю):

e/ l = 0 или e = const на L.

(3.67)

Таким образом, мембранная функция T-волны должна иметь постоянное значение на контуре металлической поверхности.

Из граничных условий (3.65) – (3.67) следует, что в металлических линиях передачи Е-, Н- и Т-волны могут существовать независимо друг от друга (если считать металл идеально проводящим).

Отметим, что для волн Т-типа мембранное уравнение (3.25) сводится к уравнению Лапласа, и его решение принадлежит к классу гармонических функций. Теорема о гармонических функциях утверждает, что если эта функция принимает постоянное значение на границе расчетной области S, (а это следует из граничного условия), то она постоянна и всюду в области S. Согласно (3.45), (3.46) электромагнитное поле, описываемое такой функцией, тождественно равно нулю, т. е. существование Т-волн в данном случае невозможно. В многосвязных линиях передачи на каждой из направляющих

цилиндрических поверхностей функция

может принимать

постоянные значения

1,

2,..., отличные друг от друга. В этом случае

мембранная функция

не

постоянна в поперечном сечении ЛП и

Отформатировано: По ширине

Отформатировано: По ширине

Отформатировано: По ширине

Отформатировано: По ширине

97

Смотрите также файлы