Файл: Введение в радиооптику.pdf

Введение в радиооптику

Эти характеристики показаны на рис. 1.8.

Рисунок 1.8 − Характеристики слоя пространства

Следовательно, слой пространства ведет себя как фильтр нижних частот с полосой пропускания пространственных частот νс = [νх2 +νу2]0,5 = 1/λ или пространственным периодом Тс = 1/λс = λ. Таким образом, все пространственные гармонические составляющие распределения поля в плоскости z = 0 (см. рис. 1.6) с пространственными частотами λх, λу > 1/λ (или пространственным периодом Тx,y < λ) при распространении ЭМВ в слое пространства с увеличением расстояния z быстро затухают. Это явление проявляется лишь при достаточно больших λ и мелкой структуре поля в плоскости z = 0.

Передаточная функция слоя пространства в области Френе-

ля. Передаточную функцию Нϕ(νх,νу) в области Френеля найдем непосредственно подставляя импульсную характеристику hϕ(νх,νу) из (1.32) в Фурье-образ импульсного отклика (передаточную функцию системы, или иначе коэффициент передачи системы)

Hϕ(x,y) =kexp(ikz)/2iπz ∞∫∫exp[0,5ik(x2 +y2)/z]exp[−2iπ(νxx +νyy)]dx =

−∞

=kexp(ikz)/2iπz ∞∫exp(0,5ikx2 /z −2iπνxx)dx∞∫exp(0,5iky2 /z−2iπνyy)dy.

На рис. 1.9 приведены зависимости модуля и фазы коэффициента передачи от пространственной частоты (νх2 + νу2)0,5.

Рис. 1.9 − Характеристикислоя пространства в приближении Френеля

23

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Ясно, что модуль коэффициента передачи Нϕ(νх,νу) = 1 постоянен, а фаза изменяется по квадратичному закону

ψ=kz0{1−0,5[(λνx)2 +(λνy)2]}.

Поле в произвольной точке зоны Френеля определяется анало-

гично (1.48)

U(x, y,z) =exp(ikz) ∞∫∫G(νx ,νy ,0)exp{−0,5ikz[(λνx )2 +(λνy )2 ]}× (1.51)

−∞

×exp[2iπ(νx x+νy y)]dνxdνy.

Сравнивая строгое выражение (1.47) с приближением Френеля (1.50), видно, что последнее выражение справедливо, когда в области интегрирования 1 >> (λνх)2 + (λνу)2.

Фактически последнее неравенство должно соблюдаться для

наивысшей частоты спектра νmax = (ν2x max + ν2y max)0,5, зависящей от размера наименьшей неоднородности lmin распределения поля в плоскости

z= 0 − νmax = l/lmin. Френелевское приближение для коэффициента передачи справедливо в том случае, когда (kν4maxλ4/8)z < 0,1π (см. (1.27), (1.28)). Отсюда получаем ограничение на приближение Френеля, основанное на

Таким образом, получили два условия − (1.26) и (1.52). Первое устанавливает нижнюю границу z, а второе верхнюю. Если обе области перекрываются, т. е.

то приближение Френеля дает хороший результат на всей оси z [4]. Приближение "тени". В радиооптике часто необходимо знать

поле за различными неоднородностями (диафрагмами, транспарантами, линзами, дифракционными решетками и т.п.). Точное решение задачи имеет вид (1.48). Тогда, ограничиваясь в силу малости z первым членом разложения ехр{ikz[1 − (λνх)2 − (λνу)2]0,5} в ряд и допуская максимальную погрешность такого приближения 0,5kz(λνmax)2 < 0,1×2π, получаем из

(1.48):

−∞

=exp(ikz)U(x, y,0).

Таким образом, при малых z в принятом приближении поле в плоскостях, перпендикулярных оси z, распределено точно так же, как и в плоскости z = 0. Экспоненциальный множитель exp(ikz) учитывает лишь набег фазы волны при распространении между двумя плоскостями.

24

Введение в радиооптику

Выражение (1.54) называется приближением тени. Учитывая, что νmax ≈ 1/lmin (lmin − минимальная неоднородность поля в плоскости z = 0), получаем область значений величины z, в которой справедливо приближение "тени"

В частности, при λ = 0,5 10−6 м, lmin = 10−4 м получим z ≤ 4 мм, a при той же длине волны и lmin = 10−3 м величина z ≤ 400 мм.

2 КОГЕРЕНТНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССОРЫ

Используя основные положения и принципы скалярной теории дифракции рассмотрим процессы, происходящие в оптических процессорах, позволяющих реализовать оптическую обработку информации [1, 4].

Схема когерентного оптического процессора (КОП) приведена на рис. 2.1 и включает в себя: источник когерентного света (ИКС), состоящий из источника излучения − лазера и коллиматора; устройство ввода (УВ) входного сигнала s вх(t) в оптическую систему (ОС), реализующую заданный алгоритм пространственной обработки; фотоприемник (ФП), преобразующий оптическое излучение в выходной электрический сигнал sвых(t).

Рисунок 2.1 − Обобщенная структурная схема когерентного оптического процессора

2.1 Пространственное преобразование Фурье в ОС

Выше было показано, что свойствами Фурье-преобразования обладают тонкие линзы. По современным представлениям фокусирующее действие линзы − процесс преобразования сигнала в его спектральную плотность. Основные этапы этого преобразования следующие: сначала пространственный сигнал модулируется линзой по фазе, которая изменяется по квадратичному закону (а пространственная частота − по линейному). В результате получается пространственный сигнал с линейной частотной модуляцией. Затем промодулированный сигнал пропускается через фильтр с квадратичной фазочастотной характеристикой и равномерной амплитудно-частотной характеристикой, причем фаза импульсной характеристики фильтра изменяется так же, как фаза коэффициента пропускания линзы, только с обратным знаком. Роль такого фильтра играет соответствующий слой свободного пространства [4].

25

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Наибольшее применение на практике получили сферические (параболические) линзы. Они образованы двумя сферическими (параболическими) поверхностями (рис. 2.2, а) и в параксиальном приближении (вблизи оси линзы) обладают одинаковыми свойствами.

Рисунок 2.2 − Линза (а) и действие собирающей (б) и рассеивающей (в) линз на плоскую световую волну

Линза считается тонкой, если можно пренебречь смещением светового луча внутри нее, т.е. если координаты хл, ул точек входа и выхода луча на поверхностях линзы совпадают. Тогда линза вызывает лишь искривление волнового фронта проходящей световой волны, но не влияет на ее амплитуду. Поэтому тонкую линзу можно рассматривать как фазовый транспарант с функцией пропускания Тл = ехр[iϕ(хл,ул)], где ϕ(хл,ул) − характеризует фазовую задержку волнового фронта в точке (хл,ул), при этом используется временная зависимость вида exp(−iωt).

Если d0 − максимальная толщина линзы, изготовленной из материала с показателем преломления n, а толщина линзы в точке (хл, ул) составляет d(хл,ул), то

и в параксиальном приближении

d(хл, ул) ≈ d0 - 0,5(х2л + у2л)(1/R1 +1/R2 ),

где R1 и R2 − радиусы кривизны поверхностей линзы.

При R1 > 0 и R2 > 0 имеем двояковыпуклую линзу (рис. 2.2, б), а

формулу (2.1) можно записать в виде ϕ(х, у) = knd0 − k(х2л + у2л)/2fл.

Здесь первое слагаемое описывает постоянную фазовую задержку, которая не сказывается на работе оптических систем и поэтому может не учитываться. Тогда для функции пропускания получим

26

Введение в радиооптику

Если на линзу параллельно оптической оси падает плоская волна с амплитудой U0, то линза модулирует ее по фазе, и световое ЭМП непосредственно за линзой будет иметь вид

Выражение (2.4) в параксиальном приближении описывает сферическую волну, которая при fл > 0 сходится в точку, находящуюся на оптической оси на расстоянии fл за линзой (рис. 2.2, б), а при fл < 0 расходится из точки, расположенной на таком же расстоянии перед линзой

(рис. 2.2, в).

Простейшая оптическая система. Эта система − оптический каскад − состоит из одной линзы с примыкающими к ней слоями пространства (рис. 2.3). Пусть входная плоскость Р1 − х0, у0 с заданным распределением комплексной амплитуды U0(х0,у0) находится на расстоянии d1 перед линзой, а выходная плоскость P2 − х, у находится на расстоянии d2 за линзой.

Рисунок 2.3 − Оптический каскад

Для решения задачи на первом этапе определяем световое поле непосредственно перед линзой, воспользовавшись формулой дифракции Френеля (1.22):

Здесь опущен несущественный фазовый множитель exp(ikd1), описывающий постоянную фазовую задержку [4].

Далее, на втором этапе определяем световое поле непосредственно за линзой − Uл(хл,ул)Тл(хл,ул). Реальные линзы, естественно, имеют ограниченные размеры. Однако, если поле локализовано вблизи оси линзы и занимает небольшую часть пространства, можно считать, что апертура линзы бесконечна. В тех случаях, когда необходимо учесть влияние конечных размеров апертуры, следует рядом с идеальной линзой распо-

27