Файл: Введение в радиооптику.pdf

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

В большинстве случаев входная плоскость Р1 КОП освещается плоской монохроматической волной

E(x, y, z = −0, t) = Re { E& 2 (x, y, z = −0) exp(iωt)},

где E&(x, y, z = −0) = E& 0 = const − комплексная амплитуда светового поля;

ω=2πc/λ − угловая частота; с − скорость света в вакууме.

С учетом определения функции прозрачности и трансформирующего свойства линзы (1.2) комплексную амплитуду поля в выходной плоскости Р2 можно представить в виде

−L

который свидетельствует о том, что простейшая оптическая схема на рис. 2.8 позволяет выполнить преобразование Фурье над пространственным сигналом Т(х). Для иллюстрации соотношения (2.13) рассмотрим два простых примера.

Сначала обратимся к пространственному аналогу одиночного прямоугольного видеоимпульса. Очевидно, что при этом функция прозрачности амплитудного транспаранта должна иметь вид

Рисунок 2.8 − Одномерный анализатор пространственного спектра

причем 0 < Т0 < 1 (рис. 2.9, а). При Т0 = 1 имеем дело с диафрагмой в виде одиночной щели. Используя (2.13), легко получаем

где C& = (iλF)−0,5Е0, а sinc(х) = [sin(x)]/x и используется в дальнейшем.

Распределение амплитуды светового поля вдоль координаты ξ согласно (2.14) отражает структуру амплитудного спектра исходного про-

32

Введение в радиооптику

странственного сигнала − одиночного прямоугольного видеоимпульса

(рис. 2.9, б).

а) б)

Рисунок 2.9 − Функция прозрачности одиночной щелевой диафрагмы (а) и распределение амплитуды светового поля в фокальной плоскости линзы для щелевой диафрагмы (б)

Функция arg E& (ξ) с точностью до постоянного известного сла-

гаемого arg C& содержит в себе информацию о фазовом спектре анализируемого сигнала Т(х).

В качестве второго примера рассмотрим пространственный аналог одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей без внутриимпульсной модуляции. В этом случае функция прозрачности амплитудного транспаранта (рис. 2.10, а) имеет вид

где T0 и Тm − положительные коэффициенты, удовлетворяющие неравенствам Т0 + Тm ≤ 1, Т0 − Тm ≥ 0; к = 2π/ΛТ, ΛТ − пространственный период осциллирующей составляющей функции прозрачности транспаранта по оси 0х. Физически такой функции прозрачности соответствует гармоническая дифракционная решетка.

а) б)

Рисунок 2.10 − Функция прозрачности гармонической дифракционной решетки (а) и распределение амплитуды светового поля в фокальной плоскости линзы для гармонической решетки (б)

33

+ Tm / 2T0 sin c[(kξ/ F + к)L]},

откуда видно, что два последних слагаемых обусловлены "высокочастотной" компонентой Тmcos(кх) в исходной функции прозрачности Т(х). Амплитудный спектр E& 2 (ξ) на рис. 2.10 (б) построен в предположении,

что рассматриваемый пространственный сигнал является узкополосным (в смысле, который принят в отношении временных сигналов в радиотехнике). Из этого рисунка видно, что пространственное распределение амплитуды светового поля в окрестности координат ±ξ0 адекватно отражает структуру амплитудного спектра сигнала Tmcos(кх).

Рассмотренное выше позволяет утверждать, что простейшую оптическую систему (см. рис. 2.8) можно рассматривать как анализатор спектра пространственных сигналов, представленных в виде соответствующей функции прозрачности амплитудного транспаранта [1].

Отметим главные особенности, характеризующие пространственное преобразование Фурье. Во-первых, оно реализуется максимально быстро (если отвлечься от необходимости ввода-вывода информации). Собственно спектр записанного пространственного сигнала формируется за время, в течение которого световая волна преодолевает расстояние между входной и выходной плоскостями оптической системы. Вовторых, сложное интегральное преобразование, с которым в традиционной радиоэлектронике ассоциируются представления о громоздких многоканальных фильтровых анализаторах спектра, в оптическом варианте воплощается чрезвычайно просто. И последним принципиальным достоинством систем оптической обработки информации по сравнению с электронными является их двумерный характер. Действительно, в рассмотренных выше примерах анализировался одномерный случай пространственной обработки (однородность системы вдоль осей 0х и 0η). Вторую пространственную координату можно использовать двояко. Для одномерных в информационном смысле сигналов (к которым относятся все радиосигналы) вдоль второй координаты (у на рис. 2.8) можно разместить параллельные независимые каналы одновременной обработки и реализовать, таким образом, многоканальный анализатор спектра. В случае двумерных пространственных сигналов естественно осуществлять их двумерное преобразование Фурье, что достигается с помощью сферической линзы (см. рис. 1.1) согласно ее трансформирующему свойству, выражаемому формулой (1.1). В практических приложениях одномерное преобразование Фурье применяется, например, при спектральном анали-

34

Введение в радиооптику

зе радиосигналов, а двумерное преобразование используется при распознавании двумерных образов.

2.3 Принцип пространственной фильтрации

Принцип пространственной фильтрации является важнейшим в оптической обработке информации. Пространственная фильтрация в оптических системах − аналог фильтрации, осуществляемой во временной области электрическими цепями и позволяет выполнять над световым полем тот же (и даже более широкий) набор операций, но только в пространственной, а не во временной области [1, 3].

Для пояснения принципа пространственной фильтрации рассмотрим оптическую схему (рис. 2.11), последовательно осуществляющую пару преобразований Фурье.

Пусть E&1 (x, y) = Е0m u&1 (x, y) − комплексная амплитуда свето-

вой волны во входной плоскости оптической системы Р1, а Е0m − вещественная амплитуда. Согласно (1.1) в промежуточной плоскости Р2 (плоскости пространственных частот линзы Л2) комплексная амплитуда светового поля будет

E& 2 (p,q) = AE0m ∫∫E&1 (x, y)exp(px + qy)dxdy = AE0m U& 1 (p,q),

S

где через U& 1 (p,q) обозначен пространственный спектр сигнала u&1 (p,q), а А − коэффициент пропорциональности, вид которого сейчас не важен.

Рисунок 2.11 − Оптическая схема, последовательно осуществляющая пару преобразований Фурье

Комплексная амплитуда светового поля в выходной плоскости системы Р3 вычисляется аналогично (с учетом ориентации осей 0х′ и 0у′):

E& 3 (x′, y′) = E0m u&3 (x′, y′) = AE0m (F / k) ∞∫ ∞∫U& 1 (p,q) ×

−∞−∞

×exp[−i(px′ + qy′)dpdq = (2πA)2 (F / k)E&1 (x′, y′).

35

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Это означает совпадение распределений комплексных амплитуд световых полей во входной P1 и выходной Р3 плоскостях с точностью до постоянного комплексного сомножителя и с учетом изменения направления отсчета координат. Таким образом, оптическая схема с двойным преобразованием Фурье восстанавливает входной пространственный сигнал в плоскости изображения Р3. При использовании в рассматриваемой схеме линз с различными фокусными расстояниями можно изменять масштаб выходного сигнала.

Оптическая система, осуществляющая двойное преобразование Фурье, позволяет реализовать процедуру пространственной фильтрации. Для этого в плоскости пространственных частот Р2 размещается фильтр в виде транспаранта с комплексной функцией пропускания

H&(p,q) = H(p,q)exp[iϕH (p,q)],

где H(p,q) и ϕН(p,q) − его амплитудная и фазовая характеристики соответственно. Комплексная амплитуда поля после этого фильтра есть про-

изведение AE0m U& 1 (p,q)H(p,q). Линза Л2 выполняет обратное преобразо-

вание Фурье от этого произведения, так что получаем распределение светового поля в выходной плоскости Р2 в виде

E& 3 (x′, y′) = E0m u&3 (x′, y′) = A2 E0m ∞∫ ∞∫U& 1 (p,q)H& (p,q) ×

−∞−∞

×exp[−i(kξx′/ F + kηy′/ F)]dξdη.

Используя теорему умножения преобразований Фурье, находим

S

где h& (x,y) есть обратное преобразование Фурье от передаточной функ-

ции фильтра H& (p,q), или, говоря иначе, − импульсная характеристика фильтра.

Формула (2.17) дает выходное распределение светового поля в виде двумерной свертки поля на входе с импульсной реакцией пространственного фильтра в плоскости Р2 и является двумерным аналогом формулы для временного отклика фильтра в теории линейных электрических цепей. Если в качестве фильтра в плоскость Р2 поместить транспарант с

функцией передачи H& (p,q) = U& 1* , то приходим к схеме согласованного

пространственного фильтра, поскольку формула (2.17) переходит при этом в

u&3 (x′, y′) = (2πAF/ k)2 ∫∫u&1 (x, y)u&1* (x′ − x, y′− y) dxdy,

S

36