Файл: Тер.вер(решение задач).pdf

а) По теореме умножения вероятностей вероятность того, что получится слово «ШИНА» равна

P(A1 A2 A3 A4 ) = P(A1 )P(A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 )P(A4 / A1 A2 A3 ) =

= 16 6 1−1 6 −1 2 6 −2 3 = 16 15 14 23 = 1801 .

б) По теореме умножения вероятностей вероятность того, что получится слово «МАША» равна

P(A1 A2 A3 A4 ) = P(A1 )P(A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 )P(A4 / A1 A2 A3 ) = = 16 6 2−1 6 −1 2 62 −−13 = 16 52 14 13 = 1801 .

Задача 30. Для трех розничных торговых предприятий определен плановый уровень прибыли. Вероятность того, что первое предприятие выполнит план прибыли, равна 90%, для второго она составляет 95%, для третьего 100%. Какова вероятность того, что плановый уровень прибыли будет достигнут: а) всеми предприятиями; б) только двумя предприятиями; в) хотя бы одним предприятием.

Решение.

а) Поскольку предприятия работают независимо друг от друга, то по теореме умножения вероятностей вероятность того, что плановый уровень прибыли будет достигнут всеми предприятиями равна

P(A) = P(A1 A2 A3 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,9 0,95 1 = 0,855 .

б) Поскольку третье предприятие всегда выполнит план (событие достоверное), то искомая вероятность равна:

P(B) = P(A1 )P(A2 ) + P(A1 )P(A2 ) = 0,9 (1−0,95) + (1 −0,9) 0,95 = 0,14 .

в) Поскольку третье предприятие всегда выполнит план (событие достоверное), то вероятность данного события равна P(C) =1.

Задача 31. Число грузовых машин, проезжающих мимо колонки, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,1, а того, что будет заправляться легковая 0,2. У бензоколонки заправляется машина. Какова вероятность того, что это грузовая машина?

Решение.

В данном случае событие A (машина заправляется) произошло. Поэтому используем формулу Байеса. Искомая вероятность того, что заправляется грузовая машина, равна

где H1 – гипотеза «проехала грузовая машина», H2 – гипотеза «проехала легковая машина». Определим вероятности гипотез:

P(H1 ) + P(H 2 ) = 2α + 3α =1, следовательно α = 15 , и

P(H1 ) = 53 , P(H2 ) = 52 .

Значения условных вероятностей даны в условии задачи:

P(A / H1 ) = 0,1; P(A / H 2 ) = 0,2 .

Отсюда имеем:

Задача 32. Вероятность поломки одного из пяти работающих независимо друг от друга станков равна 0,2. Если происходит поломка, станок до конца дня работает. Какова вероятность того, что: а) 2 станка сломаются в течение дня; б) не менее одного станка будут работать исправно?

Решение.

Поскольку все холодильники имеют одинаковую вероятность выхода из строя в течение дня p = 0,2 , то используем схему Бернулли.

а) Вероятность того, что 2 станка сломаются в течение дня, равна

P5 (m = 2) = C52 p2 (1 − p)3 =10 0,22 0,83 = 0,2048 .

б) Вероятность того, что не менее одного станка будут работать исправно, равна

P5 (m ≤ 4) =1 − P5 (m = 5) =.

=1 −C55 p5 (1 − p)0 =1 −1 0,25 =1 −0,00032 = 0,99968 .

Задача 33. Студент сдает три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,65, третьего – 0,35. Найти вероятность того, что он не сдаст хотя бы один экзамен.

Решение.

Обозначим A – событие «студент не сдал хотя бы один экзамен». Тогда

P(A) =1 − P(A) ,

где A – противоположное событие «студент сдал все экзамены». Поскольку сдача каждого экзамена не зависит от других экзаменов, то

P(A) =1 − P( A) =1 −0,9 0,65 0,35 = 0,7953 .

Задача 34. Из 36 карт наугад выбираются 3. Вычислите вероятность того, что среди них будут король и дама.

Решение.

Вероятность искомого события равна:

P( A) = mn ,

где m – благоприятное число исходов, n – общее число исходов.

В данном случае благоприятными могут быть варианты, когда одна из выбранных карт – король, вторая – дама, а третья может быть любой, в частности и королем, и дамой.

Поскольку порядок выбора карт не имеет значения, то имеем выборку неупорядоченную без повторений. Поэтому:

Отсюда вероятность того, что среди трех выбранных карт будут король и дама, равна:

Задача 35. Девять карточек, пронумерованных от 1 до 9, расположены друг за другом в случайном порядке. Определите вероятность события: карточка № 1 находится среди первых трех, а карточка № 2 – среди последних четырех.

Решение.

Вероятность искомого события равна:

P( A) = mn ,

где m – благоприятное число исходов, n – общее число исходов.

Поскольку все карточки пронумерованы, то выборки являются упорядоченными. В данном случае благоприятными могут быть варианты, когда:

-среди первых трех карточках содержится карточка № 1, не содержится карточка № 2, а остальными двумя карточками могут быть любые из семи оставшихся; число всех таких

вариантов равно m1 = A31 A72 = 32!! 75!! = 3 7 6 ;

-среди последних четырех карточек содержится карточка № 2, а остальными тремя карточками могут быть любые из пяти оставшихся; число всех таких вариантов равно

m2 = A41 A53 = 43!! 52!! = 4 5 4 3;

-четвертой и пятой карточками могут быть две оставшиеся карточки; число всех таких вариантов равно m3 = A22 = 2!= 2 .

Очевидно, что общее число исходов равно: n = A99 = 9!

Отсюда вероятность искомого события равна:

Задача 36. Вероятность того, что изделие является дефектным, равна 0,1. Сколько надо выбрать изделий, чтобы среди них с вероятностью более 0,96 оказалось хотя бы одно бездефектное?

Решение.

По условию задачи требуется найти минимальное число n, для которого выполнялось бы неравенство:

Pn (k ≥1) > 0,96 .

Данное неравенство равносильно тому, что

Pn (k = 0) = Cn0 p n q 0 <1−0,96 = 0,04 .

Подставив p = 0,9 , q = 0,1 в последнее неравенство, и, учтя, что Cn0 =1, имеем:

Таким образом, надо выбрать не менее чем 31 изделие, чтобы среди них с вероятностью более 0,96 оказалось хотя бы одно бездефектное

Задача 37. Адвокат выигрывает в суде в среднем 70% дел. Найдите вероятность того, что он из 8 дел выиграет больше половины.

P8 (k > 4) = P8 (k = 5) + P8 (k = 6) + P8 (k = 7) + P8 (k = 8) =

= C85 0,75 0,33 +C86 0,76 0,32 +C87 0,77 0,31 +C88 0,78 0,30 = = 0,2450 +0,2965 +0,1776 +0,0576 = 0,797 .

Таким образом, вероятность того, что адвокат из 8 дел выиграет больше половины, равна 0,797.

Задача 38. 1/3 ламп производится на первом заводе, 1/4 – на втором, остальные – на третьем. Вероятности брака в продукции первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,2, 0,15 и 0,05. Найдите вероятность того, что бракованная лампа произведена на первом, втором или третьем заводе.

Решение.

В данном случае событие A (лампа оказалась бракованной) произошло. Поэтому используем формулу Байеса. Искомые вероятности того, что бракованная лампа произведена на k-м заводе ( k =1,2,3 ) равны:

где Hk – гипотеза «лампа произведена на k-м заводе, k =1,2,3 .

Из условия задачи имеем: