ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.09.2025
Просмотров: 951
Скачиваний: 0
По условию задач требуется определить вероятность P8 (k > 4) , где k – количество выигранных дел.
Поскольку вероятность выигрыша дела известна ( p = 0,7 ), то q =1− p = 0,3 . Отсюда по
формуле Бернулли имеем:
P8 (k > 4) = P8 (k = 5) + P8 (k = 6) + P8 (k = 7) + P8 (k = 8) =
= C85 0,75 0,33 + C86 0,76 0,32 + C87 0,77 0,31 + C88 0,78 0,30 = = 0,2450 +0,2965 +0,1776 +0,0576 = 0,797 .
Таким образом, вероятность того, что адвокат из 8 дел выиграет больше половины, равна 0,797.
Задача 60. Вероятность появления события A в каждом из n независимых испытаний равна 0,7. Сколько испытаний нужно произвести, чтобы наиболее вероятное число появлений события A в производимых испытаниях k0 = 20 ?
Решение.
По условию p = 0,7 и ∑li=1 pi ≤ 0,5, ∑li=+11 pi > 0,5 . Тогда имеем
0,7n −0,3 ≤ 20 ≤ 0,7n +0,7 .
Это двойное неравенство равносильно системе неравенств
0,7n −0,3 ≤ 20,0,7n +0,7 ≥ 20.
Из первого неравенства системы имеем n ≤ 20,3/ 0,7 = 29 . Из первого неравенства системы найдем n ≥19,3/ 0,7 ≈ 27,57 . Отсюда следует, что необходимо произвести 28 или 29 испытаний.
2. Случайные величины
Задача 61. Дано распределение дискретной случайной величины X. Построить функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
xi |
4 |
6 |
8 |
9 |
pi |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,5 |
Решение.
Функция распределения равна F(x) = P(X < x) = ∑P(X = xi ) = ∑pi .Отсюда
xi |
xi |
||
0, |
x ≤ 4, |
||
4 < x ≤ 6, |
|||
0,3, |
|||
6 < x ≤ 8, |
|||
F(x) = 0,4, |
|||
0,5 |
8 < x ≤ 9, |
||
x > 9. |
|||
1 |
|||
Математическое ожидание дискретной случайной величины X равно |
|||
mx = ∑xi pi |
= 4 0,3 + 6 0,1 +8 0,1 +9 0,5 = 7,1. |
||
Дисперсия дискретной случайной величины X равна |
|||
σ2x |
= M[X 2 ] − mx2 = ∑xi2 pi − mx2 = 42 0,3 + 62 0,1 +82 0,1 + 92 0,5 −7,12 = 4,89 . |
||
Отсюда среднее квадратическое отклонение равно |
|||
σx |
= σ2x = |
4,89 = 2,211. |
|
Задача 62. Дано распределение дискретной случайной величины X. Построить функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
xi |
2 |
4 |
8 |
pi |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
Решение.
Функция распределения равна F(x) = P(X < x) = ∑P(X = xi ) = ∑pi .Отсюда
xi |
xi |
||
0, |
x ≤ 2, |
||
2 |
< x ≤ 4, |
||
0,1, |
|||
F(x) = |
4 |
< x ≤ 8, |
|
0,5, |
|||
1, |
x > 8. |
||
Математическое ожидание дискретной случайной величины X равно mx = ∑xi pi = 2 0,1 + 4 0,4 +8 0,5 = 5,8 .
Дисперсия дискретной случайной величины X равна
σ2x = M[X 2 ] − mx2 = ∑xi2 pi − mx2 = 22 0,1 + 42 0,4 +82 0,5 −5,82 = 5,16 .
Отсюда среднее квадратическое отклонение равно
σx = σ2x = 5,16 = 2,272 .
Задача 63. Вероятность поражения мишени стрелком равна p = 0,3. Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена от 600 до 660 раз.
Решение.
Согласно интегральной теореме Муавра–Лапласа
Pn, p (c ≤ vn ≤ d )≈ Φ(t2 ) − Φ(t1 ) ,
2 |
|||||||||||||||||||
где t = c −np |
, t |
= |
d −np |
, Φ(t) = |
1 t |
e− |
x |
dx |
− функция Лапласа, значения которой |
||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
1 |
np(1− p) |
np(1− p) |
2π −∞∫ |
||||||||||||||||
определяются из таблиц. Имеем: |
|||||||||||||||||||
c = 600 ; d = 660 ; |
t1 = 600 − 2100 0,3 = |
−30 |
≈ −1,4286 ; t2 |
= |
30 |
≈1,4286 ; |
|||||||||||||
2100 0,3 0,7 |
21 |
21 |
|||||||||||||||||
1 |
−1,4286 |
x2 |
1 |
1,4286 |
x2 |
||||||||||||||
Φ(−1,4286) = |
∫ |
e− |
dx = 0,0766 ; |
Φ(1,4286) = |
∫ |
e− |
dx = 0,9234 ; |
||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
2π |
−∞ |
2π |
−∞ |
||||||||||||||||
P2100;0,3 (600 ≤ vn ≤ 660)≈ Φ(1,4286) − Φ(−1,4286) = 0,9234 − 0,0766 = 0,8469 .
Задача 64. Вероятность поражения мишени стрелком равна p = 0,7. Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена ровно 1500 раз.
Решение.
Согласно локальной теореме Муавра–Лапласа
Pn, p (k) ≈ |
f (t) |
, |
|||||
np(1 |
− p) |
||||||
где f (t) = |
1 |
e− |
t2 |
t = |
k −np . |
||
2 |
, |
||||||
2π |
np(1− p) |
||||||
Имеем:
t = |
1500 − 2100 0,7 = |
30 =1,4286 ; f (1,4286) = |
1 |
e− |
1,42862 |
= 0,1438 ; |
|||
2 |
|||||||||
2100 0,7 0,3 |
21 |
2π |
|||||||
P |
(1500) ≈ |
0,1438 |
= 0,1438 = 0,00685 . |
||||||
2100;0,7 |
2100 |
07 0,3 |
21 |
||||||
Задача 65. По заданному закону распределения дискретной случайной величины X найти ее среднее квадратическое отклонение, получить функцию распределения F(x), построить многоугольник распределения вероятностей.
xi |
14 |
18 |
23 |
28 |
30 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
Решение.
Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X равно
σx = M[X 2 ] − mx2 ,
где M[X 2 ] = ∑xi2 pi =142 0,1 +... + 302 0,4 = 628,6 ; mx = ∑xi pi =14 0,1 +... + 30 0,4 = 24,4 .
Отсюда
σx = M[ X 2 ] − mx2 = 628,6 − 24,42 = 628,6 −595,36 = 33,24 = 5,765 .
Функция распределения F(x) имеет вид
0, |
x ≤14, |
14 < x ≤18, |
|
0,1, |
|
0,3, |
18 < x ≤ 23, |
F(x) = |
23 < x ≤ 28, |
0,5, |
|
0,6, |
28 < x ≤ 30, |
x > 30. |
|
1 |
Многоугольник распределения вероятностей приведен на рис. 1.
p 0,45 0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
x
Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей.
Задача 66. По заданному закону распределения дискретной случайной величины X найти ее среднее квадратическое отклонение, получить функцию распределения F(x), построить многоугольник распределения вероятностей.
xi |
8 |
12 |
18 |
24 |
30 |
pi |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Решение.
Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X равно
σx = M[X 2 ] − mx2 ,
где M[X 2 ] = ∑xi2 pi = 82 0,3 +... + 302 0,1 = 336 ; mx = ∑xi pi = 8 0,3 +... + 30 0,1 =16,8 .
Отсюда
σx = M[ X 2 ] − mx2 = 336 −16,82 = 336 − 282,24 = 53,76 = 7,332 .
Функция распределения F(x) имеет вид
0, |
x ≤ 8, |
8 < x ≤12, |
|
0,3, |
|
0,4, |
12 < x ≤18, |
F(x) = |
18 < x ≤ 24, |
0,7, |
|
0,9, |
24 < x ≤ 30, |
x > 30. |
|
1 |