Файл: Тер.вер(решение задач).pdf

Отсюда вероятность того, что среди трех взятых наудачу пирожков хотя бы два с капустой, равна

P(A) =1 − P( A0 ) − P(A1 ) =1− 425 − 2042 = 4242− 25 = 1742 ≈ 0,405 .

Задача 53. Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение.

Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть ξ и η −

моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента − множество точек квадрата со стороной 1: Ω = {(ξ, η): 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1} = [0, 1] × [0, 1], т.е. mes(Ω) = 1 (см. рис. 1).

Рис. 1.

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами (рис. 1.3) являются точки множества A = {(ξ, η): ξ − η ≤ 1/6} (10 минут = 1/6 часа). Т.е. попадание во множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна

Задача 54. Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод − 35% и 3-й завод − 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода.

Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти: а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Решение.

Обозначим событие A – «куплено бракованное изделие». Так как производят продукцию три завода, то выдвинем три гипотезы:

H1 – изделие изготовлено первым заводом;

H2 – изделие изготовлено вторым заводом;

H3 – изделие изготовлено третьим заводом.

Найдем вероятности гипотез: P(H1) = 0,25; P(H2) = 0,35; P(H3) = 0,4. Проверим:

P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,25 + 0,35 + 0,4 = 1.

Найдем условные вероятности события A относительно выдвинутых гипотез:

P(A/H1) = 0,05; P(A/H1) = 0,03; P(A/H1) = 0,04.

Определим вероятность события A по формуле полной вероятности:

P( A) = ∑in=1 P( A/ Hi )P(Hi ) = 0,05 0,25 +0,03 0,35 +0,04 0,4 = 0,039 .

Вычислим долю первого завода в общем количестве бракованных изделий, т.е. переоценим гипотезу H1 по формуле Байеса:

Задача 55. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если он пойдет по первой дороге, то вероятность выхода из леса в течение часа равна 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Решение.

В данном случае событие A – «турист через час он вышел из леса» произошло. Поэтому используем формулу Байеса. Искомая вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса, равна

где Hi – гипотеза «турист пойдет по i-й дороге, i = 1, 2, 3, 4, 5. Очевидно, что все пять гипотез равновероятны, т.е.

P(H1 ) = P(H2 ) = P(H3 ) = P(H4 ) = P(H5 ) = 0,2 .

Значения условных вероятностей даны в условии задачи:

P(A / H1 ) = 0,6; P(A / H2 ) = 0,3; P( A / H3 ) = 0,2; P( A / H4 ) = P(A / H5 ) = 0,1.

Задача 56. Производится бросание двух костей. Рассмотрим события: A = {на первой кости выпало нечетное число очков},

B = {на второй кости выпало нечетное число очков}, C = {сумма очков – нечетна}.

Показать, что эти события: а) попарно независимые; б) зависимые в совокупности.

Решение.

События A, B, C – попарно независимые. Действительно,

P( A) = P(B) = P(C) =1/ 2 , P( AB) = P( AC) = P(BC) =1/ 4 .

Но независимости в совокупности нет, т.к.

Задача 57. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода из строя каждого холодильника в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует: 1) 4 холодильника; 2) не менее 2 холодильников; 3) не более 1 холодильника; 4) не менее 1 холодильника.

Решение.

Поскольку все холодильники имеют одинаковую вероятность выхода из строя в течение года p = 0,2, то используем формулу Бернулли.

1) Вероятность того, что в течение года ремонта потребуют 4 холодильника, равна

P5 (k = 4) = C54 p4 (1 − p) = 5 0,24 0,8 = 0,0064 .

2) Вероятность того, что в течение года ремонта потребуют не менее 2 холодильников, равна

P5 (k ≥ 2) =1− P5 (k < 2) =1− P5 (k = 0) − P5 (k =1) =

=1 −C50 p0 (1 − p)5 −C51 p1 (1 − p)4 =1 −1 0,20 0,85 −5 0,21 0,84 = 0,2627 .

3)Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не более 1 холодильника, равна

P5 (k ≤1) =1− P5 (k ≥ 2) =1−0,2627 = 0,7373 .

4)Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не менее 1 холодильника,

равна

P5 (k ≥1) =1− P5 (k <1) =1− P5 (k = 0) =

=1 −C50 p0 (1 − p)5 =1 −1 0,20 0,85 = 10000067232 = 0,6723 .

Задача 58. Вероятность того, что изделие является дефектным, равна 0,1. Сколько надо выбрать изделий, чтобы среди них с вероятностью более 0,96 оказалось хотя бы одно бездефектное?

Решение.

Таким образом, надо выбрать не менее чем 31 изделие, чтобы среди них с вероятностью более 0,96 оказалось хотя бы одно бездефектное

Задача 59. Адвокат выигрывает в суде в среднем 70% дел. Найдите вероятность того, что он из 8 дел выиграет больше половины.

Решение.