Файл: 1031.pdf

Функции, удовлетворяющие ЭТИМ 1ребованиям~ называются

регулярчымu.

ПоnyлаТ2

К~ЖДОЙ физически наблюдаемой в класСической механике величине

в кваНТОвой механике сопоставляется линейный оператор.

011ераmор - зто значок (или символ), который показывает какое

деЙСТвИе нужно произвести над функцией, чтобы ПОЛУЧИТЬ новую

дЛх)

функцию. Например, когда мы функцию дифференцируем, то в дх

д

значок дх является оператором дифференцирования и тогда можно

заПисаТЬ:

показЫ6Зет, что от ФУНКЦИИ нужно взять сумму вторых производных по

коордиtlзтам X,Y.Z:

в квантовой механике лрименяются линейные операторы, т. е.

такие операторы, которые удовлетворяют условиям:

1. Р[[1(х) + [2 (х)]= Ff1(х) + Ff2 (х)

F[cf(x)] = cFf(x) и

FfCl~(X)+C2f2(X)]=CIF~(x)+~Ff2(X)

где J;(x) И J;(x) - произвольные ФУНКЦИИ и С( И С1 - произвольные

постоянные. Линейные операторы можно складывать и умножать:

2.Если А и В являются линейными операторами, то:

А+ В = S (Т. С. их линейная комбинация)

АВ=Р s и р тоже линейные операторы.

Sf(x) =(А +В)Лх) =АЛх) + ВЛх)

Произведение р = А . В

14

http://mitht.ru/e-library

РЛх) = АВЛх) = А[ВЛх)]

в общем случае порядок расположения днух операторов в

произведении не безразличен, т. е. линейные операторы не обязательно

КОММУГИРУЮ1'. Если же А· В = В· А, то операторы обладают свойствами

коммуmаmuвносmи.

Важным СВОИСТВОМ операторов является СВОЙСТВО самосопряжеНI:IОСТИ -

поскольку операторы должны приводить к вещественным значениям

величин, то должно выполняться условие

f'f" F'I'd, "" f'f'F''f''d"

Т.е. если в операторе есть i, ТО перед НИМ меняется знак. Если в

все члены указанного класса функций называются собственными

функциями оператора F, а различные возможные значения .4,

соответствующие собственным функциям, называются собственными

значениями Этого оператора.

Как же определить какой оператор нужно сопоставить той или ИНОЙ

Динамической перемевной? Есть правило нахождения квантово­

механических опера'fОРОВ, которое состоит в следующем:

Вклассической механике все динамические величины можно

выразить в переменных р и q ,Т.е. через пространственную координату и

импульс. Если динамическая персменная является прос'гранственной

координатой q, то соответствующий ей оператор булет оператор

•

умножения Q , т.к. операuия состоит в умножснии функции на эту

координату

л

QЧ' = qЧ'

•

Q-оператор, соответствующий Ч

Потенциальной энсргии тоже сопоставляется оператор умножения на эту величину, Т.К. потенциальная энергия является функцией координат

•

V(q) - V(q). Оператор, соответствующий количеству движения или

импульса обозначается

р=-ih~ =-ih'V

Bq

и является диффере~·щиальным оператором первого порядка.

15

http://mitht.ru/e-library

Он переводит ФУНКЦИЮ '{' в -1'n iWдq' Если взЯТЬ компоненты импульс&,

то соответствующие им операторы будут:

как и операторы координаты). а операторы импульса и координаты не

коммутируют. Разность А· в-В·А= р,В] называется KOMмyraTOPOM.

Операторы коммутируют если коммутатор равен нулю (или "исчезает") .

[р.,х]= Рхх - хР. = -ih ит,Д,

Важно, ч'То две физические величины могут бьrrъ одновременно измерены, если ИХ операторы коммутируют. Пр~нцип неопределенносrи

применим к тем величинам (или "наблюдаемым"). операторы которых не

Составляющие кинетической, энергии ПО координатным осям

Операторы, соответствующие компонентам кинетических энергий 8

направлении трех осей:

Полная энергия классической системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

,

Оператор полиои энергии или оператор Гамильтона Н

определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной

энергий:

http://mitht.ru/e-library

С этим оператором мы будем работать в будущем.

н" - самосопря:женный линейный оператор; при ЭТОМ, поскольку он не

содержит"i ", то iJ == Н· и значит

f'l" lWdr '"f'l'lW'dr

Постулат 3

в общем виде этот ПОС1)'лат утверждает, что если волновая функция

't' есть собственная функция оператора F • то можно написать уравнение:

t'l' о .1'1'

где ..t - ССТЬ собственное значение оператора fr .

Собственные ФУНКЦИИ и соБС1"венные значения самосопряженных операторов обладают следующими важными свойствами:

1. Собственные функции любого самосопряженного оператора,

принадлежащие различным собственным значениям - ортоfOПальны

между собой во всем интервале изменения переменных:

f\}1n \}1m dr =0

2. Если одному собственному значению опсратора COOTI3CTcTByeT

несколько ра1ЛИЧНЫХ линсйно-нсзависимых собственных функций, то

функции назывютсяя вырожденlIыи•.

стационарных систем (т.е. систем для которых энергия не ИЗМСJ{Яется во

времени) можно записать:

н•'l' = ЕЧ'

где Е - ПОлная энергия системы в данном состоянии - постоянная

величина (не зависящая от координат и времени).

Это и ССТЬ уравнение Шредингера в операторной форме.

Если раскрыть оператор ГаМИJlI)тона, то получится уравнение

Шредингера в таком виде:

"n2

н= -- V'+ V"(x,y.z)

2т

,,2 2

-->'Ч'+V·Ч'=Е·Ч'

2т

n' 2 Ч'-(Е-V)Ч' =0

-->'

2т

17

http://mitht.ru/e-library

В разных книгах по квантовой механике формулируется разное колlfчество

П()сryлатов. Три, отмеченные выше, обязательны. Еще в качестве

ПС>стулата формулируют и следующее С80ЙСТВО микросистемы:

Постулат 4

в квантовой механике собственное значение какого-либо оператора получается в том случае, если функция 'f')описывающая состояние системы, является собственной функцией данного оператора. Во всех

других случаях приходится иметь дело со средними значениями (или

ожидаемыми) мехаНических величин:

-fЧ"F'Pd,

,1=--;;--:-- fЧ"Ч'd,

Если функция нормирована, то

А == f'l"F'I'dr

Бели функция ЧJ известна, то среднее значение механической

механJfЧеской велИЧИНЫ. Если же функция 'i' является собственной

функц..еЙ оператора F, то

,1= fЧ"F'Pd, = JЧ",1Ч'd,=,1 J'V'V'd,=,1

т.е. получается собственное значение оператора F.

Например, можно определить среднее значение (или ожидаемое) импульса частицы или одной из его компонент:

f'P( -;n ~)'P'dr

Р, -

f'P'P'dt

Такая ситуация может возникнуть 'в ТОМ случае, если СИС1'ема из n чаСiИЦ

характеризуется волновой функцией 'р. А мы для каждой из чаСТИЦ будем

определять ИЛИ координату х, или кинетическую энергию Т, или

компонент импульса Рх• или импульс р . Вот тогда мы сможем найти

ожидаемое ИЛИ среднее значение всех этих величин.

18

http://mitht.ru/e-library

1.3. Некоторые простые задачи квантовой механнки и

уравнение Шредингера

1.3.1. Электрон в nотеllциалыюм ящике

в квантовой механике рассмотрение различных физических систем

СВОДИТСЯ к решению уравнения l11редингера. При этом СНачала нужно

составить оператор Гамильтона, подставить его в уравнение и решить его.

Рассмотрим Сначала некоторые простые системы, которые имеют большое

значение ДJIЯ изучения молекулярных и кристаллических систем и для

спектроскопии, а также решим задачу, связанную с движением электрона в

ограниченном замкнутом пространстве. Представим себе мысленно

(физики любят ставить такие «мысленные» опыты), что мы поместили

электрон в ящик с бесконечно ВЫСОКИМИ стенками, внутри которого

потенциальная энергия равно нулю. Вне ящика она настолько велиКа, что электрон не может ВЫЙТИ из ящика. Допустим он двигается только вдоль

оси Х.

V:.O

х

РИС.I.3 а. )

Его состояние описывается. волновой фУliкцией "1:'. Тогда уравнение

Шредингера для него запишется так:

а''1' + 2т (Е_ 0)'1' = О

ах' 1;'

Если это уравнение решить, то получим, что "fI может иметь слсдуюший

вид:

Ч' =A·sinkx.. 'f!=B·coskx', '1'=A·sinkx+B·coskx

Какое выбрать? Для ЭТОГО нужно определить какое ИЗ ЭТИХ решений

удовлетворяет граничным условиям: ЧJ =0, когда Х = о и Х = L (т.е.

19

http://mitht.ru/e-library