Файл: 1031.pdf

электрон не может покинуть ящик). Таким требованиям удовлетворяет

'P=A-sinh (так как \f';.B-соskr удовлетворяет этим требованиям только

при В"" О, и тогда \f' всегда будет равна О. зто не roдиrся).

значения пропорциональные квадраry целых чисел n=1,2,З,... Если

пространство буде велико ( L велико), то

Еп+1 -Еп ~O

Как себе это МОЖНО представить (рис.l.3 б)?

в силу двоiiственной природы, движение электрона носит волновой

характер_ В ограниченном пространстве волна может распространяться

только в том случае, если вдоль ДЛИНЫ укладывается целое число

полуволн, Т.е.

А.

L = n--

2

где n - любое целое положительное число (рис. 1.36)

При движении в трехмерном ящике (с длинами сторон а, Ь, С) электрон

имеет три степени свободы и его энергию можно рассматривать как сумму

составляющих по трем координатным осям, Т.е.

Е = Ех + Еу + Е,.

20

http://mitht.ru/e-library

Волновую функцию, описывающую состояние электрона. можно

представить как произведение трех функций, каждая ИЗ которых зависит только от ОДной координаты (ИСХОДЯ из вероятностных предстаВJlСНИЙ в описании СОСТОЯНИЯ микрочастиu. Вероятность сложного события равна

произведению вероятностей отдельных событий).

У:=оО !

I

РИС.l.3 б.

'у = Х(х). У(у). Z(z)

Тогда при решении уравнение Шредингера преобразуется в три обыкновенных дифференциальных уравнения, которые могут быть легко

решены.

В соответствии с граничными условиями

X~O и х=а, y~O и у=Ь, z=O и z=c

энергия электрона в трехмерном ящике будет определяться:

потенциальном яuщке привело к очень важному результату:

энергия электрона В ограниченном пространстве может ПРl-шимать лишь

определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Это справедливо, не

только Д,1Я электрона, tЮ и для любой микрочастицы.

2\

http://mitht.ru/e-library

1.32. Гармонический линейный осциллятор

Гармоническим линейным осциллятором называют колебательную

систему, прсдставляющую собой частицу с массой m и совершающую

стремится вернуть частицу в положение равновесия F = -kx. Теория

гармонического осциллятора имеет в физике большое значение, Т.К.

многие системы можно рассматривать как совокупность осцилляторов. Все молекулы имеют колебательные степени свободы, которые можно описать

с помощью теории гармонического осциллятора.

РИС.I.4.

Уравнение Шредингера для гармонического ОСЦИЛJUlТOра МОЖНО представить следующим образом:

,

d-'P + 2т (E-V)'P =0

ш' п'

Потенциальная энергия осциллятора будет:

d''P +~m(E_~kx2 'Р=О

ш' п' 2

Если решить это уравнение, то получаются следующие результаты:

Собственные волновые ФУНКЦИИ 'i' будут иметь следующий. вид:

22

http://mitht.ru/e-library

2. собственныe значения оператора il . Т.е. разрешеlПlЫе энергemчесmе

уровни:

Бо = 12 hvo

Б1 = 32 hvo =(1+ li~vo

Б2= 52 hvo = (2 + ,1,2~vo

Еу = (v +l;~vo

Очень важные результаты квантомехапического рассмотрениЯ' можно

обобш,ить следующим образом:

1. Гармонический осциллятор может иметь лишь определенные

разрешенные значения энергии, при этом расстояния между

ураН1IЯМИ энерrnи одинаковые.

2. Целые числа v являются колебательными квантовыми qислами

З. В нижнем квантовом состоянии при v=O энергия осциллятора не

обращается в нуль: Бо = 12 hvo; это пулевая энергия.

1.3.3. Жесткий ротатор

Систему, состоящую из ДВУХ масс ml и m2 , находяшихся друг от друга на фиксированном расстоянии r , и вращающихся вокруг общего

иентра масс, называют жестким ротатором. Момент инерции РОТЗlора

1~ m,f,2 + m 2 f22 ~ mf 2 где

координатах уравнение Шредингера запишется следующим образом:

\l''f' + 2т ЕЧ' = О

п'

23

http://mitht.ru/e-library

1

ПОСКОЛЬКО ДЛЯ жесткого ротатора m = 2 ' то данное уравнение МОЖНО

r

рассматривать, как уравнение Шредингера для одной частицы с массой 1

и r = 1, вращающеися вокруг начала координат по поверхности сферы:

,

Если теперь представить себе волновую ФУНКЦИЮ, как фyнкuию двух сферических координат (третья координата r= 1)

ЧI(.9,<р)= 8(.9)·ф(<р)

и взять оператор Лапласа в сферических координатах, то решение уравнения Шредингера даст возможные значения энергии~ которые может

принимать ротатор

п'

Е.рощ = -J(J + 1)

2!

где J =- 0,1,2,3 ... Целочисленность квантового числа J определяет дискретность энергии ротатора. ЭТОТ результат имеет существенное

значение при рассмотрении вращательного движения двухатомных

молекул.

ГЛАВА 2. Строение атомов

2.1. Атом водорода в квантовой механике

Итак, именно квантовая механика стала той современной физикой,

которая СМогла объяснить строение ВСЩсства и в первую очередь строения атома. Естественно начать рассмотрение строения атомов с простейшего

атомаатома водорода. Рассмотреть строение атома водорода в квантовой механике - это значит решить для него уравнение Шредингера.

Эта задача ДЛЯ двух частиц, так как атом состоит из протона и электрона. Но известно, '-по масса протона почти в 2000 раз больше массы

электрона. Поэтому можно считать, что протон закреПIIСН в центре атома, а

движение э-лектрона рассматривать в поле фиксированного ядра. Таким

24

http://mitht.ru/e-library

образом задачу МОЖIЮ CBeCm к одной частице, движущейся вокруг

НСПОДВИЖIIОro ядра под влиянием заряда ядра. но с приведенной массой

те +МП

т.е. в случае электрона и ядра приведснная масса мОжет бьпь принята за

массу электрона. Это xopoulec приближение.

Запишем уравнение ШредиНI ера для атома водорода

решить уравнение в 'Таком виде матемаТИчеСки Д~вопь.но сложно, l {о мы

все-таки проследим по этапам решение и обсудим результаты, которые получаются при ЭТОМ. Поскольку потенциальная Эffергия выражается как

- -е' r

удобнее перейти от декартовых координат к полярным, которые

выбираются следующим образом: '

соотношениями:

z=r·cos.9

х= r . sin 9 . cos <р

у'"r . sin .9 . sin q>

у = tg'f'

х

25

http://mitht.ru/e-library