Граничные условия в дифференциальной и разностной задачах совпадают, так что значения сеточной функции в граничных точках будут нулевыми

.

Мы не можем рассчитать погрешность , решая задачу , , поскольку в правые части уравнений входят неизвестные величиныи. Однако задача , позволяет оценить погрешность.

Пусть максимальное по модулю число соответствует индексу:

,.

В граничных точках обращается в ноль , так что индексне равен ни нулю, ни. Рассмотрим уравнение для этого значения индекса и запишем его в виде:

.

Возьмем модуль от обеих частей равенства и оценим правую часть сверху

или

.

Здесь мы сократили одинаковые члены слева и справа, разделили обе части неравенства на множитель и заменилив знаменателе на минимально возможное значение функциина отрезке, равное. Таким образом нам удалось оценить погрешность решениячерез погрешность аппроксимации уравнения.

---

Для оценки погрешности аппроксимации уравнения предположим, что функции идважды непрерывно дифференцируемы на отрезке. В этом случае уравнение допускает двухкратное дифференцирование, что обеспечивает существование у решения краевой задачи , четырех непрерывных производных и позволяет написать разложения

Подставляя их в формулу , получим следующее выражение для :

.

Выражение в первых фигурных скобках равно нулю в силу дифференциального уравнения . В результате в правой части формулы остается только вторая группа членов, обязанная своим происхождением остаточным членам в разложениях . Оценим ее следующим образом. Функция непрерывна и, следовательно, ограничена на отрезке. Пусть

,

тогда из формул и получаем

,.

Мы видим, что разностная схема обеспечивает второй порядок аппроксимации уравнения и, как следствие неравенства , второй порядок точности для погрешности решения.

Задача 6.

Рассмотреть на отрезке краевую задачу

,

.

Выписать и решить соответствующую разностную задачу с шагом . Сравнить решение разностной задачи с аналитическим решением

.

Система трех уравнений относительно ,,с учетом нулевых граничных условий имеет вид

---

.

Решение системы , как и решение исходной дифференциальной задачи, симметрично относительно средней точки, так что . С учетом этой особенности система сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными:

решение которой имеет вид

, .

В таблице 3 приведены значения , соответствующие узлам сетки, решение разностной задачи, аналитическое решение , вычисленное в узлах сетки , погрешность решения и погрешность аппроксимации уравнения (111). Согласно двум последним столбцам

,

Таблица 3

Погрешность аппроксимации уравнения определена только для внутренних точек сетки, поэтому первая и последняя строчки последнего столбца остались незаполненными.

Теперь обратимся к теоретической оценке погрешности решения и погрешности аппроксимации уравнения . В данном случае

, так что.

В результате оценки с учетом того, что , дают

,.

Это согласуется с фактическими значениями погрешности , подсчитанными непосредственно по известному решению краевой задачи .

---

---

Смотрите также файлы

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc

• 13.doc