Функции, входящие в правую часть этого соотношения, по предположению непрерывны и ограничены в интересующей нас области изменения своих аргументов. Это позволяет заменить равенство неравенством

,

где - константа, мажорирующая выражение в фигурных скобках формулы . Подставляя оценку в неравенство , получим

.

Таким образом, при погрешность аппроксимации уравнения и, как следствие, погрешность решения стремятся к нулю со скоростью. Это означает, что разностное уравнение , полученное по схеме Рунге-Кутта, имеет второй порядок точности относительно.

Второй порядок точности лучше, чем первый, однако практика показывает, что этой точности также недостаточно. Наиболее часто при проведении реальных расчетов используется схема Рунге-Кутта четвертого порядка точности следующего вида

,

где

Если в схеме второго порядка точности на каждом шаге функцию приходилось вычислять два раза, то здесь – четыре раза. Однако это усложнение схемы расчета окупается высокой точностью. На более подробном обсуждении схемы , останавливаться не будем и ограничимся конкретным примером.

Задача 4.

Построить решение задачи Коши , на отрезке с шагомпо схеме Рунге-Кутта второго порядка типа «предиктор-корректор» и по схеме Рунге-Кутта четвертого порядка, . Сравнить результаты расчетов между собой и с аналитическим решением задачи .

Результаты расчетов по этой задаче приведены в таблице 2. Здесь в первом столбце даны значения переменной , во втором и третьем столбцах – результаты расчетов по схемам Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, в последнем шестом столбце – значения аналитического решения в узлах сетки. В четвертом и пятом столбцах приведены результаты расчетов по методу Адамса. Они будут обсуждаться в следующем разделе.

---

Таблица 2.

Сравнение результатов второго столбца таблицы 1, рассчитанных по методу Эйлера с шагом , с результатами второго и третьего столбца таблицы 2 показывает как уменьшается погрешность при фиксированном шагепо мере перехода к более точным методам. Так метод Рунге-Кутта четвертого порядка, несмотря на достаточно крупный шаг, дает погрешность решения. Это на много лучше, чем при расчете по схеме Эйлера с шагом(см. четвертый столбец в таблице 1). В то же время при расчете по схеме Эйлера было сделано двести шагов с однократным вычислением функциина каждом шаге, а при расчете по схеме Рунге-Кутта – восемь шагов с четырехкратным вычислением функциина каждом шаге. Таким образом, более сложный, но и более совершенный метод позволяет при меньшем объеме вычислений получить более точный результат.

В заключение сделаем следующее замечание. Априорные оценки погрешности по схеме Эйлера или Рунге-Кутта представляют теоретический интерес. Они определяют скорость, с которой погрешность стремится к нулю при . Однако на практике оценки подобного типа неэффективны, поскольку содержат производные искомого решения. Обычно точность численного решения задачи устанавливают с помощью апостериорных оценок, основанных на сравнении результатов расчетов с шагоми. Процедура их вывода и применения была описана в предыдущей главе в связи с задачей численного интегрирования.

---

4. Метод Адамса.

Адамс – английский астроном и математик XIXвека, который много занимался небесной механикой. При изучении траекторий планет ему постоянно приходилось численно интегрировать уравнения их движения. Желая минимизировать объем вычислений, Адамс разработал один из наиболее экономичных методов численного решения дифференциальных уравнений, к обсуждению которого мы теперь переходим.

Пусть - решение дифференциального уравнения . Для производной этой функции имеет место равенство

.

Интегрируя его между двумя точками сетки, получим соотношение

.

Мы не можем использовать это соотношение непосредственно для перехода в процессе решения задачи от -ой точки сетки к-ой, поскольку функциянам не известна. Чтобы сделать следующий шаг, нужно приближенно заменить эту функцию на такую функцию, которую можно вычислить. Опишем, как эта проблема решается в методе Адамса.

Пусть в процессе численного решения задачи мы довели расчет до точки . В результате проведенных расчетов нам оказались известными величиныи,. Возьмем некоторое фиксированное целое числои построим интерполяционный многочлен-ой степени, принимающий в точках,значения

,.

---

Его можно записать по формуле Лагранжа

,

где специальные многочлены вида

,

которые мы уже рассматривали в третьей главе.

Главная идея метода Адамса заключается в том, чтобы для расчета использовать формулу типа , приближенно заменяя в ней функциюна интерполяционный многочлен, составленный согласно по результатам предыдущих вычислений. Это приводит к рекуррентной формуле

,

где

.

Рассмотрим более подробно данную схему численного решения задачи Коши в простейших случаях и, когда технические трудности не закрывают прозрачную идею метода. Придля аппроксимации функциииспользуется полином нулевой степени, т. е. постоянная

.

В этом случае формула переходит в рекуррентную формулу метода Эйлера

,

обеспечивающую первый порядок точности. Такой результат сам по себе тривиален. Мы привели его только для того, чтобы показать, что для метода Адамса, как и для метода Рунге-Кутта, исходной точкой является схема Эйлера.

Перейдем к исследованию варианта . В этом случае для аппроксимации функциииспользуется полином первой степени, построенный по значениям функциив двух точкахи:

---

.

Подставляя его в формулу и проводя интегрирование, получим

.

Отметим следующую особенность рекуррентной формулы . Для расчета очередного значения сеточной функции нужно знать ее значения в двух предыдущих точкахи. Таким образом, формула начинает работать только со второй точки. Вычислить по нейнельзя. Это значение решения разностной задачи приходится вычислять каким-нибудь другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Рекуррентную формулу можно записать в виде разностного уравнения

.

Подсчитаем для него погрешность аппроксимации дифференциального уравнения

.

Предположим, что функция имеет в интересующей нас области изменения аргументов непрерывные вторые производные, так что решение задачитрижды непрерывно дифференцируемо. Запишем разложения Тейлора

Подставляя их в формулу , получим

.

Отсюда можно написать оценку

,

где - постоянная, мажорирующая третью производную функции:

, .

Мы видим, что разностное уравнение метода Адамса, соответствующее случаю , аппроксимирует дифференциальное уравнение со вторым порядком точности относительно. Как и в случае метода Рунге-Кутта, это обеспечивает второй порядок точности для погрешности решенияпри предположении, что значение, которое рассчитывается нестандартно, вычислено со вторым порядком точности.

---

Смотрите также файлы

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc

• 13.doc