3. Разностная аппроксимация второй производной.

Для разностной аппроксимации второй производной составим разностное отношение первых разностных производных

.

Чтобы установить связь выражения со второй производной, предположим, что на отрезке определена дважды непрерывно дифференцируемая функция, значения которой в точках сетки дают значения сеточной функции. Вычислим ее вторую производную в точках сеткии составим разность

,.

Она представляет собой погрешность аппроксимации второй производной с помощью разностного отношения второго порядка .

Оценим величину погрешности при предположении, что функция четыре раза непрерывно дифференцируема на отрезке. Это предположение позволяет написать разложения Тейлора

Подставляя их в формулы , , получим

.

Мы не можем вычислить погрешность по этой формуле, поскольку значения аргументов у функции нам неизвестны, но можем ее оценить. Функциянепрерывна и, следовательно, ограничена на отрезке

,.

В результате из формулы получаем

.

Таким образом, разностное отношении аппроксимирует вторую производную со вторым порядком точности относительно для функций, имеющих четыре непрерывные производные на отрезке. Совершенно аналогично можно строить разностные аналоги производных более высокого порядка.

---

Задача 2.

Для функции вычислить на сетке вторую разностную производную в точке . Найти погрешность аппроксимации второй производной и сравнить результат с априорной оценкой .

В данном случае

,

.

Четвертая производная рассматриваемой функции и мажоранта для нее на отрезкеимеют вид

,.

Так что неравенство запишется следующим образом

.

Оно выполняется.

При численном интегрировании дифференциальных уравнений производные в них приближенно заменяются соответствующими разностными отношениями. В результате задача сводится к системе разностных уравнений, которые решаются на компьютере. В качестве ответа получается сеточная функция . После этого встает вопрос, в какой степени и с какой точностью ее можно рассматривать в качестве приближенного решения исходной задачи. Нужно иметь в виду, что прямое сравнение решения дифференциального уравненияи рассчитанной сеточной функции невозможно: они принадлежат разным пространствам и их, прежде всего, нужно свести в одно пространство. Это можно сделать двояко.

Во-первых, по сеточной функции с помощью методов интерполирования можно построить функцию непрерывного аргумента и оценить разность, например, в норме

---

.

Во-вторых, наоборот, решению дифференциального уравнения можно сопоставить сеточную функцию и сравнить между собой две сеточные функциии, составив их разность. При этом погрешность приближенного решения задачи будет характеризовать норма разности

.

Наиболее последовательным является первый путь, но обычно выбирают более простой - второй.

В следующих параграфах мы рассмотрим численное решение с помощью метода конечных разностей задачи Коши и краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

2. Численное решение задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

,

.

Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по аргументув некоторой окрестности начальной точки, то можно указать такой отрезок,, на котором решение задачи ,существует и является единственным. В этом параграфе мы обсудим численные методы ее решения.

---

1. Метод Эйлера.

Пусть нам нужно построить решение задачи , на отрезке длины. Возьмем некоторое целое число, введем шаги образуем на отрезке сетку

, .

Сопоставим задаче , на отрезке разностную задачу

, ;

.

Здесь мы заменили производную в уравнении правой разностной производной и сохранили неизменным начальное условие .

Уравнение является разностным уравнением первого порядка, которое принято называть схемой Эйлера. Его можно переписать в виде рекуррентного соотношения

, .

Это позволяет последовательно рассчитать все значения сеточной функции , решив тем самым задачу , . Такую разностную схему называют явной.

Перейдем теперь к обсуждению главного вопроса: с какой точностью рассчитанная сеточная функция дает решение исходной задачи Коши. Для ответа на него рассмотрим решение задачи , в точках сетки , образуя из функции непрерывного аргумента сеточную функцию, и сравним ее с рассчитанной сеточной функцией. Для этого образуем две сеточные функции,:

---

, ;

, .

Смысл первой функции очевиден. Она характеризует разницу между рассчитанными числами и решениемзадачи , в точках сетки. В соответствии с этим сеточную функциюназывают погрешностью решения.

Функция получается в результате подстановки решения дифференциального уравнения в разностное уравнение . Если бы эти уравнения совпадали, то мы получили бы нуль. Но они различаются и нуля мы не получим. Сеточную функцию, характеризующую степень близости дифференциального и разностного уравнений, называют погрешностью аппроксимации уравнения на решении.

Установим связь между сеточными функциями и. С этой целью выразим из формулы:

и подставим в разностное уравнение . В результате получим

или

.

Здесь в обе фигурные скобки мы добавили величину . Добавленные члены входят в соотношение с противоположными знаками и благодаря этому не нарушают равенство. После таких преобразований во вторых фигурных скобках получается величина.

В первых фигурных скобках стоит разность значений функции при одинаковом первом аргументеи разных значениях второго аргумента. Эту разность с помощью формулы Лагранжа можно представить в виде

---

Смотрите также файлы

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc

• 13.doc