Процесс построения более точных схем можно продолжить за счет увеличения . Приполучается схема третьего порядка точности, при- четвертого и т.д. Схема четвертого порядка, как и в методе Рунге-Кутта, является наиболее употребительной, поэтому мы коротко остановимся на ее выводе и обсуждении.

Если написать интерполяционный полином третьей степени на сетке из четырех точек,,,и провести интегрирование , то рекуррентная формула примет вид:

.

Приведем еще одно форму записи этой формулы через так называемые конечные разности

,

где

Первая, вторая и третья разности приближенно соответствуют первой, второй и третьей производной функции . Эквивалентность формул и легко проверить непосредственно. Формула иногда более удобна для организации вычислительного процесса и контроля точности.

Особенность метода Адамса проявляется в формуле еще сильнее, чем в формуле . Здесь для расчета очередного значения нужно знать значенияв четырех предыдущих точках -,,,. Таким образом, формула начинает работать только с четвертой точки. Вычислить по ней,,нельзя. Эти значения решения разностной задачи приходится рассчитывать другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

---

Перейдем к обсуждению точности схемы . Если функция имеет непрерывные четвертые производные по своим аргументам в интересующей нас области их изменения, так что решение задачипять раз непрерывно дифференцируемо, то разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение с четвертым порядком точности относительно. Доказательство этого утверждения проводится также, как и для схемы второго порядка , только теперь в разложениях типа нужно удерживать больше членов. Четвертый порядок точности при аппроксимации уравнения обеспечивает четвертый порядок точности для погрешности решенияпри предположении, что начальные значения для метода Адамса,,вычислены с такой же точностью. Они рассчитываются независимо и при этом важно, чтобы начальный этап вычислительного процесса не внес такую погрешность, которая исказит все последующие результаты.

Задача 5.

Построить решение задачи Коши , на отрезке с шагомпо схеме Адамса второго и четвертого порядка. Сравнить результаты расчетов между собой, с результатами расчетов по схеме Рунге-Кутта и с аналитическим решением задачи.

Результаты расчетов приведены в четвертом и пятом столбцах таблицы 2. В соответствии с заданием, нужно сравнивать четвертый столбец со вторым и шестым, а пятый – с третьим и шестым. Напомним, что в шестом столбце приведено аналитическое решение (53) рассматриваемой задачи, так что сравнение с ним позволяет судить о точности приближенного решения по схеме Рунге-Кутта и схеме Адамса.

Расчет по схеме Адамса второго порядка точности начинается с , четвертого - с . Значение в четвертом столбце,,,в пятом столбце рассчитывались по схеме Рунге-Кутта соответствующего порядка, поэтому в таблице они оказываются одинаковыми с соответствующими данными второго и третьего столбцов. Сравнение результатов проведенных расчетов двумя методами с аналитическим решением задачи показывает, что их точность примерно одинакова.

---

Сравним схемы четвертого порядка точности в методе Рунге-Кутта и Адамса с точки зрения организации вычислительного процесса. Чтобы сделать один шаг по методу Рунге-Кутта, необходимо вычислить функцию четыре раза , а в методе Адамса только один раз. В трех предшествующих точках функциябыла уже вычислена на предыдущих шагах и вычислять ее снова нет необходимости. В этом заключается главное достоинство метода Адамса, которое особенно высоко ценилось в докомпьютерную эру.

Главный недостаток метода Адамса мы уже отмечали: при его применении первые шаги приходится делать с помощью другого метода, например, с помощью метода Рунге-Кутта и только после этого можно перейти на расчет по схеме Адамса. Таким образом, программа решения задачи Коши по методу Адамса должна включать в себя как элемент программу метода Рунге-Кутта для расчета начальной стадии вычислительного процесса.

С этой особенностью метода Адамса связана еще одна проблема. При численном интегрировании дифференциального уравнения часто приходится менять шаг . В методе Рунге-Кутта это не составляет труда, поскольку каждый шаг делается независимо от предыдущего. В методе Адамса ситуация иная. Здесь нужно либо изначально программировать весьма сложные формулы расчета с переменным шагом, либо после каждой смены шага заново проводить расчет первых трех точек по методу Рунге-Кутта. Только после этого можно переходить на стандартный счет по методу Адамса. Эти недостатки приводят к тому, что сегодня при компьютернах расчетах предпочтение часто отдается более удобному методу Рунге-Кутта.

---

3. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим следующую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Здесь два дополнительных условия заданы в граничных точках отрезка , поэтому задачу , называют краевой.

Пусть функции инепрерывны на отрезке, причем

.

При сделанных предположениях, как известно из курса дифференциальных уравнений, решение задачи , существует и является единственным.

Перейдем к обсуждению вопросов, связанных с его расчетом с помощью численного метода. Возьмем некоторое целое число , введем шаги построим сетку

.

Заменим дифференциальное уравнение его разностным аналогом. В результате получим следующую задачу:

,

Здесь ,, граничные условия для сеточной функциивзяты такими же, что и в дифференциальной задаче.

Разностные уравнения можно переписать в виде

.

Мы получили линейную систему из -го уравнения с-им неизвестным,. Значенияинеизвестными не являются: они задаются граничными условиями .

---

Между разностными схемами для задачи Коши и для краевой задачи есть существенное различие. В первом случае для определения сеточной функции мы имели рекуррентные соотношения, которые позволяли последовательно рассчитать все ее значения. Такие разностные схемы называются явными. В краевой задаче , сеточная функцияопределяется из решения системы линейных алгебраических уравнений. Такая разностная схема называется неявной.

Из записи разностных уравнений в форме видно, что мы получили систему уравнений с трехдиагональной матрицей с диагональным преобладанием: диагональный элемент больше суммы двух других элементов той же строки, равной 2. Системы такого типа мы уже встречали в третьей главе в связи с задачей интерполяции кубическим сплайном. Диагональное преобладание гарантирует существование и единственность решения системы, которое может быть построено методом прогонки.

Перейдем к обсуждению основного вопроса: с какой точностью сеточная функция , полученная в результате решения задачи , , приближает решение краевой задачи , . Пустьрешение исходной краевой задачи. Обозначим черезего значения в узлах сетки и введем две сеточные функции: погрешность решения и погрешность аппроксимации уравнения

,

.

Выразим из соотношения черезии подставим в разностное уравнение . Оставим члены, содержащие, слева, а остальные члены перенесем направо. В результате получим

,.

---

Смотрите также файлы

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc

• 13.doc