;

и соответственно

.

Формула не позволяет вычислить погрешность, поскольку точное значение аргумента нам неизвестно. Однако с ее помощью погрешность можно оценить:

,

где

.

Обсудим роль полинома в оценке . На отрезкеон имеетнуль, а его значения между этими нулями сравнительно невелики, но, когда точкавыходит за пределы отрезкаи удаляется от точкивлево или от точкивправо, оценка ухудшается из-за быстрого роста функции. Это хорошо видно на рис. 2, где в качестве примера приведен график функциис корнями,,,:

.

Ее наибольшее по модулю значение на отрезке равно единице. Однако уже в точкахза пределами отрезка полиномпринимает значение

.

---

Из сказанного можно сделать следующий вывод. Если , то множительне обесценивает оценку . Такой случай называют собственно интерполяцией. Противоположный случай, когда точкалежит вне отрезканазывают экстраполяцией функции . Отмеченная выше особенность поведения полиномарезко ухудшает оценку при экстраполяции. Поэтому на практике экстраполяции избегают или ограничиваются многочленами невысокой степени , когда рост функциине настолько критичен.

Задача 4.

Написать мажорантную оценку для погрешности при вычислении приближенного значения в точкес помощью интерполяционного полинома второй степени. Сравнить ее с погрешностью , подсчитанной непосредственно.

Формула для погрешности принимает в данном случае вид:

, .

Она правильно определяет знак погрешности, но не позволяет вычислить ее величину, поскольку значение аргумента неизвестно. Чтобы получить мажорантную оценку погрешности , нужно заменитьна его наибольшее значение – единицу. В результате будем иметь:

.

Эта оценка согласуется с величиной погрешности , вычисленной «в лоб».

---

6. О сходимости интерполяционного процесса.

Поставим вопрос, будут ли сходится интерполяционные полиномы к интерполируемой функции на отрезкепри неограниченном возрастании числа узлов.

Упорядоченное множество точек ,назовем сеткой на отрезкеи обозначим для краткости. Рассмотрим последовательность сеток с возрастающим числом узлов:

и отвечающую ей последовательность интерполяционных полиномов , построенных для фиксированной непрерывной на отрезкефункции.

Интерполяционный процесс для функции сходится в точке , если существует предел

.

Наряду с обычной сходимостью часто рассматривается сходимость в различных нормах. Так, равномерная сходимость на отрезке означает, что

при.

Сходимость или расходимость интерполяционного процесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функции . Если- целая аналитическая функция, то при произвольном расположении узлов на отрезкеинтерполяционный многочленравномерно сходится кпри.

---

Положение резко меняется, если производные функции разрывны или не существуют в отдельных точках. Например для функции на отрезке, покрытом равномерной сеткой узлов, значениямежду узлами интерполяции неограниченно возрастают при. Вместе с тем, для заданной непрерывной функцииза счет выбора сеток можно добиться сходимости и притом равномерной на. Однако построение таких сеток довольно сложно и, главное, такие сетки «индивидуальны» для каждой конкретной функции.

Если заметить дополнительно, что объем вычислений при построении интерполяционного полинома быстро нарастает с ростом ,то становится понятно, что на практике вычислители избегают пользоваться интерполяционными полиномами высокой степени. Вместо этого, в случае необходимости, при больших значениях используется кусочно-полиномиальная интерполяция, которую мы обсудим в следующем параграфе.

7. Интерполяционный полином Эрмита.

Расширим постановку задачи об интерполяции. Ранее полагалось, что в узлах интерполяции заданы только значения функции . Пусть теперь в узлах, среди которых нет совпадающих, заданы значения функции, и её производныхдо-го порядка включительно. Числа при этом называют кратностью узла. В каждой точке, таким образом, задановеличин:

---

.

В общей сложности на всей совокупности узлов известновеличин, что дает возможность ставить вопрос о построении полиномастепени

,

удовлетворяющего требованиям:

,,.

Такой полином называется интерполяционным полиномом Эрмита для функции . Рассмотренный ранее вариант построения интерполяционного полиномапо известным значениям функции в узлах интерполяции является частным случаем построения полинома Эрмита при условии, что все узлы простые:,.

Докажем, что интерполяционный полином Эрмита существует и является единственным. Представим его в стандартном виде

.

Наше утверждение будет справедливо, если показать, что коэффициенты определяются из условий и притом единственным образом. Условия представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов, причем число уравнений и число неизвестных равны.

Рассмотрим соответствующую однородную систему

,,.

Уравнения просто указывают на то, что числа являются корнями полиномакратности . Мы видим, таким образом, что полиномимеет, с учетом кратности, не менее корней. Поскольку его степень равна , то он должен тождественно равняться нулю. Это означает, что, т.е. однородная система уравнений имеет только тривиальное решение. Отсюда следует, что неоднородная система при любой правой части разрешима и при том единственным образом.

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc