Исследование погрешности интерполирования полинома Эрмита почти дословно повторяет проведенное ранее исследование для полинома с простыми узлами, в которых заданы только. Достаточно представитьв виде

,

где

,

и рассмотреть функцию

.

Применяя теорему Ролля к функции и ее производным с учетом кратности корней в узлахи условияпридем к формуле

,

которая по существу повторяет формулу . С ее помощью можно написать оценку типа :

,

где - максимальное значение модуля функции. Здесь полиномявляется обобщением полинома на случай кратных корней.

Построение полинома Эрмита в общем случае при произвольном числе узлов и их кратности приводит к довольно громоздким выражениям и редко используется. Поэтому мы ограничимся двумя примерами, встречающимися на практике.

Пример 1

Построить интерполяционный полином Эрмита для функции по известным значениям в узлахи значениюв одном из узлов.

---

Степень полинома в данном случае равна.

Будем искать в виде

Здесь выражения, стоящие под знаком суммы, суть обычные составляющие полинома в форме Лагранжа в узлах , «усиленные» дополнительными множителями. Слагаемое, отвечающее кратному узлу, выделено отдельно как особое. Постояннаяподлежит определению.

Из структуры видно, что. Найдем производнуюв узле. Слагаемые, стоящие под знаком суммы, содержат множителии потому их производные обращаются в нуль при. Таким образом,

.

Для соблюдения требования следует положить

,

где для краткости обозначено

.

Итак:

Пример 2.

Построить интерполяционный полином Эрмита для функции в случае, когда во всех узлах интерполяции,заданы значения функциии ее первой производной.

---

В данном случае , , так что степень полинома равна .

Запишем исходный полином в виде:

.

Представление удобно тем, что автоматически выполняются условия

.

При вычислении производной полинома в узле следует учесть, что все слагаемые суммы, кроме слагаемого, отвечающему самому узлу , дают нулевой вклад в производную в этой точке, поэтому

.

Отсюда

,

где, числа определяются формулой . Таким образом, решением данной задачи является полиномом Эрмита

.

Задача 5

Построить полином Эрмита второй степени для функции по следующим данным:

,,.

Вычислить с помощью этого полинома приближенное значение синуса в точке . Найти погрешность, сравнить ее с погрешностью, которую дает интерполяционный полином задачи 2 и с теоретической оценкой погрешности .

Здесь мы имеем задачу, которая в общем виде была разобрана в примере 1: согласно узел является простым, а узел- двукратным. В этом случае в формуле сумма, соответствующая простым узлам, сводится к одному слагаемому, которое в силу нулевого значения синуса в точкеобращается в ноль. Второй член в формуле соответствует кратному корню. Подставляя сюда соответствующее значение синуса и его производной в этой точке, а также значение коэффициента, будем иметь:

---

.

Вычислим значение полинома в точке и подсчитаем погрешность

,.

Теоретическая формула для погрешности принимает в данном случае вид:

, .

Она правильно определяет знак погрешности и позволяет написать для нее мажорантную оценку

.

Данная оценка согласуется с величиной погрешности , подсчитанной «в лоб».

При подсчете приближенного значения с помощью полинома Эрмита в точке мы получили погрешность , модуль которой в два с лишним раза превышает погрешность полинома . Чтобы понять причину такого расхождения, рассмотрим рис. 3, на котором приведены графики функций (сплошная линия) и (пунктир). Сравним его с рис. 1, на котором изображены графики функции и полинома . Из-за нулевого значения производной в точке график полинома качественно больше похож на график синуса, чем график полином . Однако равенство полинома синусу не только в граничных точках отрезка, но и во внутренней точке приводит к тому, что полином приближает синус на отрезкелучше чем полином . Это хорошо видно при сравнении рис. 1 и рис. 3. Подсчет погрешностей и в точке является дополнительным тому подтверждением.

---

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc