Файл: Ответы на вопросы.doc

Второй пример - частично описанное выше моделирование работы торгового зала самообслуживания по продаже продовольственных товаров. Здесь одна последовательность псевдослучайных чисел описывает интервалы между появлениями покупателей, вторая, третья и т.д. связаны с выбором ими первого, второго и т.д. товаров в зале (например, число - номер в перечне товаров). Короче, все действия покупателей, продавцов, работников предприятия разбиты на операции, каждая операция, в продолжительности или иной характеристике которой имеется случайность, моделируется с помощью соответствующей последовательности псевдослучайных чисел. Затем итоги работы сотрудников торговой организации и зала в целом выражаются через характеристики случайных величин. Формулируется критерий оптимальности, решается задача оптимизации и находятся оптимальные значения параметров.

Оптимальные планы статистического контроля, построенные на основе вероятностно-статистических моделей, строятся в главе 13.

Теперь обсудим свойства датчиков псевдослучайных чисел. Здесь стоит слово "псевдослучайные", а не "случайные". Это весьма важно.

Дело в том, что за последние 50 лет обсуждались в основном три принципиально разных варианта получения последовательностей чисел, которые в дальнейшем использовались в методах статистических испытаний.

Первый - таблица случайных чисел. К сожалению, объем любой таблицы конечен, и сколько-нибудь сложные расчеты с ее помощью невозможны. Через некоторое время приходится повторяться. Кроме того, обычно обнаруживались те или иные отклонения от случайности (см. об этом в работе [9]).

Второй - физические датчики случайных чисел. Основной недостаток - нестабильность, непредсказуемые отклонения от заданного распределения (обычно - равномерного).

Третий - расчетный. В простейшем случае каждый следующий член последовательности рассчитывается по предыдущему. Например, так:

где z₀ - начальное значение (заданное целое положительное число) M - параметр алгоритма (заданное целое положительное число), P=2^m, где m - число двоичных разрядов представления чисел, с которыми манипулирует компьютер. Знак здесь означает теоретико-числовую операцию сравнения, т.е. взятие дробной части оти отбрасывание целой.

---

В настоящее время применяется именно третий вариант. Совершенно ясно, что он не соответствует интуитивному представлению о случайности. Например, интуитивно очевидно, что по предыдущему элементу случайной последовательности с независимыми элементами нельзя предсказать значение следующего элемента. Расчетный путь получения последовательности псевдослучайных чисел противоречит не только интуиции, но и подходу к определению случайности на основе теории алгоритмов, развитому акад. А.Н. Колмогоровым и его учениками в 1960-х годах. Однако во многих прикладных задачах он работает, и это основное.

Методу статистических испытаний посвящена обширная литература (см., например, монографии [14-16]). Время от времени обнаруживаются недостатки у популярных датчиков псевдослучайных чисел. Так, например, в середине 1980-х годов выяснилось, что для одного из наиболее известных датчиков

После этого в 1985 г. в журнале "Заводская лаборатория" началась дискуссия о качестве датчиков псевдослучайных чисел, которая продолжалась до 1993 г. и закончилась статьей проф. С.М.Ермакова [17] и нашим комментарием.

Итоги можно подвести так. Во многих случаях решаемая методом статистических испытаний задача сводится к оценке вероятности попадания в некоторую область в многомерном пространстве фиксированной размерности. Тогда из чисто математических соображений теории чисел следует, что с помощью датчиков псевдослучайных чисел поставленная задача решается корректно.

В других случаях приходится рассматривать вероятности попадания в области в пространствах переменной размерности. Типичным примером является ситуация, когда на каждом шагу проводится проверка, и по ее результатам либо остаемся в данном пространстве, либо переходим в пространство большей размерности

7. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математическая схема. Формальная модель объекта. Алгоритм функционирования. Типовые схемы.

Язык математических схем является основным связующим звеном между специалистами-практиками и специалистами по моделированию. Математическая схема обеспечивает переход от соде….(че-то там) к формальному содержанию данной системы. Описательная модель преобразуется в мат. схему, затем уже матем. модель.

Формальная модель объекта. Пусть имеется некая система, те объект моделирования. Такая модель представляет процесс функционирования системы след. подмножеств:

---

-совокупность входных воздействий на систему (Х)

Xi Є X, i=1, n_x

-совокупность воздействий внешней среды

VjЄV, j= 1,n_v

-совокупность внутренних параметров системы

h_k ЄH, k=1,n_h

-совокупность выходных характеристик системы

y_lЄY, l=1,n_y

В этих четырех подмножествах выделяют управляемые и неуправляемые переменные и детерминированные и стохастические составляющие. При моделировании системы S входящие воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры системы- независимые переменные -экзогенные. Выходные характеристики системы являются зависимыми(эндогенными) характеристиками. Процесс функционирования системы S описывается во времени с помощью закона функционирования системы: y(t)=E_s(x_i,v_j,h_l,t).

Так же его можно описать с пом логических условий или алгоритма, или с пом словесного описания.

Словесный - наиболее нечеткий способ описания.

Алгоритм функционирования системы является одним из важнейших способов получения всех характеристик с учетом всех факторов.

Его можно реализовать различными способами (программами, аппаратным способом. Если в виде программы- абстрактная модель, если в виде физ объекта, то физическая модель ). Часто удобно описывать закон функционирования системы с помощью понятия состояний системы, тогда процесс функционирования рассматривается как последовательная смена состояний.

z_m Є Z, m=1, n_z

Состояние системы описывается векторными уравнениями:

Ф (z₀,x,v,h,t)

z(t)=Ф

y(t)=F(z,t)

Первое уравнение по начальному состоянию z0 и экзогенным переменным определяет временную функцию z(t). Второе, по полученному значению состояний - эндогенные переменные системы. Время в модели можно рассматривать как непрерывное или дискретное.

Непрерывное - переход из одного состояние в другое может быть в любой момент времени, дискретное - каждый переход в определенный момент времени(квант).

Детерминированные модели- все процессы строго определенные. Недетерминированные - если есть элемент случайности.

Типовые схемы.

На начальных этапах моделирования часто используются типовые матем схемы, диф уравнения, конечные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри.

Простые матем схемы имеют следующие преимущества:

- они просты

- они наглядны

Недостатки:

-узки возможности применения

В качестве детерминированной модели используются след типовые схемы:

---

Диф и интегр ур-я для непрерывных систем, для дискретных-конечные автоматы и конечноразностные схемы.

8. Основные подходы к построению математических моделей процессов: Обобщенный, непрерывно-детерминированный, дискретно-детерминированный, сетевой, дискретно-стохастический, непрерывно-стохастический.

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Основные подходы:

1. Обобщенный (универсальный) – агрегативные системы.

2. Непрерывно-детерминированный – сюда относятся дифференциальные уравнения. Пример – система автоматического управления.

3. Дискретно-детерминированные (конечные автоматы). Объекты, к которым применим такой подход моделирования: элементы и узлы компьютера, контроллеры, системы коммутации.

4. Сетевой (сети Петри)

5. Дискретно-стохастический (вероятностные автоматы). С его помощью описывается разработка методов проектирования дискретных систем.

6. Непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания). Для реализации таких моделей используется GPSS

9. Задачи теории массового обслуживания. Элементы систем массового обслуживания: Прибор обслуживания, накопитель заявок (очередь), канал обслуживания заявок. Поток заявок, поток обслуживаний, выходной поток. Одноканальные и многоканальные приборы.

СМО – модель реальной системы, характеристики которой:

• В каждой СМО есть некоторое количество обслуживающих единиц, каждая из которых называется единицей обслуживания

• СМО может быть одноканальным и многоканальным

• Всякая СМО предназначена для обслуживания некоего потока заявок поступающего в случайное время

• Обслуживание заявки тоже выполняется в течении случайного времени, после чего канал освобождается и готов к приему новых заявок

• Случайных характер потока заявок и случайного времени обслуживания приводит к тому, что в какой-то момент перед обслуживающими приборами скапливается очередь заявок, а в какой-то момент они простаивают.

• Те заявки, которые не могут быть обслужены сразу либо стоят в очереди, либо покидают очередь

• Процесс обслуживания является случайным

---

Предмет СМО – построение математических моделей, которые связывают заданные условия работы системы с интересующими нас характеристиками, количеством каналов и их производительностью, характер потока заявок. Характеристики: справляется или нет система и каждая из ее подсистем с нагрузкой.

Коэффициент использования – насколько загружено то или другое устройство

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое деление: СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название: «теория очередей».

СМО с очередью подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь—ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» — заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречается так называемое обслуживание с приоритетом — некоторые заявки обслуживаются вне очереди. Приоритет может быть как абсолютным — когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» из-под обслуживания заявку с низшим (например, пришедший в парикмахерскую клиент высокого ранга прогоняет с кресла обыкновенного клиента), так и относительным — когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.

Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов или «фаз» (например, покупатель, пришедший в магазин, должен сначала выбрать товар, затем оплатить его в кассе, затем получить на контроле).

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое деление: СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название: «теория очередей».

---