ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.01.2026
Просмотров: 954
Скачиваний: 0
-13-
Рис. 1.2. Плотность распределения наработки до отказа.
Из (1.3) следует, что вероятность БР на интервале (0,t) равна интегралу функции плотности распределения от момента времени t до ∞ (заштрихованной
площади под кривой):
∞
p(t) = ∫ω(t)dt
t
или с учетом (1.2) и (1.3):
t |
|
p(t) =1− ∫ω(t)dt. |
(1.4) |
0 |
Функции q(t) и ω(t) обычно тождественно равны нулю при t<0. Значение q(t)>0 при t<0 иногда вводят для описания отказов, возникающих при хранении.
Распределение вероятностей БР от момента включения до момента первого отказа принято называть математической моделью безотказной работы
(безотказностью устройства).
4. Среднее значение и дисперсия длительности безотказной работы Функция распределения (интегральная или плотность) полностью
характеризует случайный процесс, но для решения многих задач достаточно знать несколько моментов случайной величины.
Как известно, моментом k-того порядка называют интеграл вида:
∞ |
|
mk = ∫t k ω(t)dt, |
(1.5) |
0 |
если только эта величина конечна.
Следует заметить, что если существует момент k-того порядка, то и существуют все моменты порядка r<k.
Момент первого порядка или математическое ожидание наработки
элемента (системы) до первого отказа m1{ξ} обозначают символом Tср и
называют средней наработкой на отказ или средним временем безотказной работы:
∞∞
Tср = ∫tω(t)dt = −∫tdp(t). |
(1.6) |
||
0 |
0 |
||
Интегрируя по частям выражения (1.6) с учетом (1.3), получим: |
|||
|
|
∞ |
|
Tср = −t p(t) |
|
0∞ + ∫p(t)dt. |
(1.7) |
|
|||
|
|||
|
0 |
||
-14-
При этом считаем, что:
1) p(0)=1, т.е. в момент включения устройство исправно;
2) lim tp(t) = 0, т.к. если mk < ∞, то |
lim t k p(t) = 0. |
t→∞ |
t→∞ |
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m |
2 |
= |
∫ |
t 2ω(t)dt = − |
∫ |
t 2dp(t) = −t 2 p(t) |
|
+ |
∫ |
p(t)dt 2. |
|
|
|
|
{ |
|
|
|
(1.9) |
||||
|
|
|
0 |
|
0 |
=0 |
|
0 |
0 |
2 p(t) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
С учетом того, что p(t)=1 при t=0, а |
|
lim t |
, окончательно получаем: |
||||||||
|
t→∞ |
|
|
||||||||
∞∞
m2 = ∫p(t)dt 2 = 2∫tp(t)dt. |
(1.10) |
|
0 |
0 |
|
Из выражения (1.10) с учетом (1.8) находим дисперсию σT2 времени безотказной работы:
∞ |
∞ |
|
σT2 = m2 −Tср2 = 2∫tp(t)dt −(∫p(t)dt). |
(1.11) |
|
0 |
0 |
|
5. Вероятность |
безотказной работы |
на интервале, следующим за |
интервалом безотказной работы
Пусть имеется два события A и B. Событие A состоит в том, что после включения устройства отказ наступил на интервале, не превосходящим величину τ+t, т.е.:
A : ξ ≤τ +t.
Событие B состоит в том, что после включения первый отказ наступил на интервале, превосходящем величину τ, т.е.:
|
B : |
ξ ≥τ. |
|
Пересечение событий A и B состоит в том, что отказ появится на |
|||
интервале |
t, следующим за интервалом времени τ безотказной работы |
||
рис.(1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.3.
Это можно записать аналитически следующим образом:
А∩В: τ ≤ ξ ≤τ +t.
-15-
Теперь найдем условную вероятность того, что первый отказ произошел на интервале t, который следует за интервалом τ и на котором устройство проработало без отказа.
Обозначим эту условную вероятность за q(t/τ). По правилу умножения вероятностей (см. Замечание) имеем:
q(t /τ) = P{A ∩B}
или: |
P{τ ≤ ξ ≤τ +t} |
|
|
|
q(t /τ) = |
, |
|
||
P{ξ >τ} |
|
(1.12) |
||
при этом: |
|
|
|
|
P{τ ≤ ξ ≤τ +t}= P{ξ ≤τ +t}−P{ξ ≤τ}= q(τ +t) −q(τ) = |
|
|||
=1− p(τ +t) −[1− p(τ)]= p(τ) − p(τ +t). |
(1.13) |
|||
Отсюда получаем: |
|
|
||
q(t /τ) = |
[p(τ) − p(τ +t)] |
= 1− p(τ +t). |
(1.14) |
|
|
p(τ) |
p(τ) |
||
Вероятность p(t/τ) безотказной работы на интервале t, следующим за интервалом τ безотказной работы после включения устройства, равна:
p(t /τ) =1−q(t /τ) = p(τ +t).
(1.15)
Таким образом, p(t/τ) равна отношению вероятностей безотказной работы в конце и в начале рассматриваемого интервала времени.
Замечание:
Правило умножения вероятностей:
P(A ∩B) = P(B) PB (A).
Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие состоялось.
6. Интенсивность отказов (ИО)
Интенсивностью отказов ИО называется функция λ(τ), которая
представляет собой предел отношения q(t/τ) при t→0. Аналитически ее можно записать, как:
|
|
|
[p(τ) − p(τ +t)] |
|
|
′ |
|
||
λ(τ) = lim q(t /τ) |
= lim |
= − |
p (τ) |
. |
|
||||
tp(τ) |
|
|
(1.16) |
||||||
t→0 |
t |
t→0 |
|
|
p(τ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dp(t) |
|
|||
|
|
|
ω(t) = − |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом выражения (1.3) |
|
dt , преобразуя (1.16), получим: |
|||||||
λ(τ) =
(1.17)
Функция λ(τ) для всех τ>0 неотрицательна, а при τ=0 → λ(0)=ω(0), т.к. p(0)=1.
-16-
При τ→∞ и числитель, и знаменатель выражения (1.17) стремятся к нулю, поэтому, используя правило Лопиталя можно получить равенство,
справедливое для больших значений τ: |
||||
′ |
|
d |
|
|
λ(τ) ≈ − ω (τ) |
= − |
lnω(τ). |
||
dτ |
||||
ω(τ) |
|
(1.18) |
||
Теперь нетрудно выразить вероятность безотказной работы p(t) через |
||||
интенсивность отказов. Для этого представим выражения (1.16) в виде: |
||||
λ(τ) = − |
d |
ln p(τ). |
|
||
|
(1.19) |
||||
|
dτ |
|
|
||
Интегрируя обе части выражения (1.19) от 0 до t, получим с учетом того, |
|||||
что p(0)=1, следующее выражение: |
|
||||
t |
|
|
|
||
∫λ(τ)dτ = −ln p(t). |
(1.20) |
||||
0 |
|
|
|
|
|
Отсюда: |
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
p(t) = exp − |
λ(τ)d(τ) . |
|
|||
|
|
|
(1.21) |
||
|
|
0 |
|
||
Следовательно, интенсивность отказов и вероятность безотказной работы являются характеристиками безотказности, связанными однозначным соответствием, поэтому можно задавать либо вероятность безотказной работы, либо интенсивность отказов.
Функция λ(τ) не является плотностью распределения случайной величины. Кроме того, эта функция не нормирована, т.к.:
t
∫λ(τ)dτ =0.
0
Таблица 1.4. Функциональная связь между ПН безотказности.
Известный |
|
|
|
Формулы для определения остальных ПН |
|
|
|
||||||||||||||||||
ПН |
|
q(t) |
|
|
ω(t) |
|
|
|
p(t) |
|
|
|
|
|
λ(t) |
||||||||||
q(t) |
|
|
|
|
|
dq(t) |
|
1−q(t) |
|
1 |
|
|
|
dq(t) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
1−q(t) |
|
dt |
|||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
ω(t) |
|||||||
ω(t) |
∫ω(t)dt |
|
|
|
|
|
|
1− ∫ω(t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1− ∫ω(t)dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
p(t) |
1− p(t) |
|
− dpdt(t) |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
dpdt(t) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p(t) |
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
λ(t) |
|
|
− ∫λ(t)dt |
|
|
|
− ∫λ(t)dt |
|
|
− ∫λ(t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1−exp |
|
λ(t) exp |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При λ=const, т.е. для экспоненциального распределения времени безотказной работы имеем:
-17-
t |
t |
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Tср = ∫p(t)dt =∫e−λt dt =− |
e−λt |
|
= |
. |
|
|||
|
|
|
||||||
0 |
0 |
λ |
|
0 |
λ |
(1.22) |
||
|
||||||||
В таблице 1.4 приведены основные соотношения, устанавливающие функциональную связь между ПН безотказности.
Пример.
Определить единичные ПН безотказности p(t), λ(t) и Tср, если в результате анализа данных об отказах ТС установлено, что частота отказов системы имеет вид:
ω(t) = 2λe−λt (1−e−λt ).
Решение.
1. Определим вероятность БР на основании формулы (1.4). Имеем:
|
t |
t |
|
t |
|
|
|
|
p(t) =1− |
∫ |
|
∫ |
e−λt dt − |
∫ |
e−2 |
|
= 2e−λt −e−2λt . |
|
ω(t)dt =1−2λ |
|
|
λt dt |
||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2.Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по формуле
(1.17):
λ(t) = |
ω(t) |
= |
λ (1−e−λt ) |
. |
|
p(t) |
(1−0,5e−λt ) |
||||
|
|
|
3.Определим среднюю наработку до первого отказа. На основании (1.8) будем иметь:
∞∞[2e−λt −e−2λt ]dt = 23λ.
00
1.4.2.Единичные ПН, определяющие свойство восстанавливаемости
Будем считать, что восстановление является случайным событием. В связи с этим интервал времени от момента отказа до момента восстановления является случайной величиной. Поэтому для характеристики восстановления должна быть использована функция распределения вероятностей этой случайной величины. Обозначим ее через η (эта).
1. Вероятностью восстановления (ВВ) называется вероятность того, что после момента наступления отказа работоспособность устройства будет восстановлена за время, не превышающее заданное время t.
Вероятность восстановления можно записать в виде функции следующего вида (рис. 1.4).
pв(t) = P{η ≤ t}, t ≥ 0 |
(1.23) |