ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.01.2026
Просмотров: 961
Скачиваний: 0
-18-
Рис. 1.4. Вероятность восстановления и невосстановления.
Функция pв(t) представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины η. Эта функция монотонно возрастает от 0 (при t=0) до 1
(при t→∞).
2. Вероятность невосстановления (ВНВ) на заданном интервале
времени, т.е. вероятность того, что η>t, равна: |
|
|||
qв(t) = p{η > t} |
=1− pв(t). |
(1.24) |
||
3. Плотность распределения времени восстановления или частота |
||||
восстановления равна: |
|
|||
ωв(t) = |
dpв(t) |
, |
t ≥ 0. |
|
|
(1.25) |
|||
|
dt |
|
||
Распределение вероятностей длительности восстановления называют
математической моделью восстанавливаемости устройства.
Функции распределения pв(t) и ωв(t), характеризующие восстанавливаемость, являются односторонними.
4. Среднее значение и дисперсия длительности восстановления Аналогично рассмотренным ПН безотказности для свойства
восстанавливаемости также можно ввести наряду с функциями распределения длительности восстановления численные характеристики или моменты.
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
mk = ∫t k ωв(t)dt = k ∫t k −1qв(t)dt. |
(1.26) |
|||||
0 |
|
|
0 |
|||
Выражение |
(1.26) получено методом |
подстановки формулы |
||||
ωв(t) = |
dpв(t) |
= − |
dqв(t) |
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
dt и последующим интегрированием по частям. Докажем, |
|||
что это так:
∞∞
mк = ∫t k ωв(t)dt = −∫t k dqв(t) = −t k
0 0
qв(t)
123
→0
∞ ∞ |
∞ |
|
|
+ ∫qв(t)dt k = k ∫t k −1qв(t)dt, |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
что и требовалось доказать.
Момент первого порядка (математическое ожидание) времени восстановления работоспособности обозначим символом Tв и назовем средним временем восстановления:
∞∞
Tв = ∫qв(t)dt =∫[1− pв(t)]dt. |
(1.27) |
|
0 |
0 |
|
-19-
Таким образом, среднее время восстановления Tв равно площади под кривой вероятности невосстановления (рис.1.4).
Дисперсия длительности восстановления определяется выражением:
∞ |
|
σв = 2∫t[1− pв(t)]dt −Tв2. |
(1.28) |
0 |
5. Интенсивность восстановления Используя рассуждения, аналогичные проведенным для интенсивности
отказов, определим условную вероятность pв(t/τ), т.е. вероятность того, что восстановление произойдет на интервале t, следующем за интервалом времени τ, на котором еще не произошло восстановление работоспособности устройства:
pв(t /τ) = [pв(τ +t) − pв(τ)] /[1− pв(τ)]. |
(1.29) |
Условная вероятность невосстановления на интервале времени |
|
длительностью t, следующем за интервалом τ после отказа равна: |
|
qв(t /τ) =1− pв(t /τ) = qв(τ +t) / qв(τ). |
(1.30) |
Рассмотрим предел отношения pв(t/τ) при t→0, т.е. дифференциальную плотность вероятности восстановления в момент τ, при условии, что после отказа устройство не было восстановлено до момента τ.
Обозначим этот предел через функцию μ(τ), которая называется
интенсивностью восстановления: |
|
|||||||||
μ(τ) = lim |
pв(t /τ) |
= |
pв′(τ) |
|
|
|||||
|
|
1− pв(τ) |
|
|||||||
t→0 |
|
|
t |
|
|
(1.31) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
pв′(t) = |
dpв(t) |
= ωв(t) |
||
|
|
|
|
|
|
dt |
||||
или с учетом того, что |
|
при t→0, получим: |
||||||||
μ(τ) = − |
|
ωв(τ) |
, |
|
τ > 0. |
|
||||
1− pв(τ) |
|
(1.32) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Представим выражение (1.31) в виде: |
||||||||||
μ(τ) = − |
d |
ln[1− p (τ)] |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
dτ |
|
в |
|
|
|
(1.33) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
и решим его с учетом того, что pв(0)=0. Из выражения (1.33) имеем, проинтегрировав его от 0 до t:
t |
t |
|
|
|
0t |
|
∫μ(τ)dτ = − ∫d ln[1− pв(τ)] =−ln[1− pв(τ)] |
|
= −ln[1− pв(t)]. |
||||
|
||||||
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Отсюда определяем, что: |
|
|||||
|
|
t |
|
|
||
|
|
∫ |
|
|
||
|
|
|
|
|||
1− pв(t) = exp − |
|
μ(τ)dτ . |
|
|||
|
|
0 |
|
(1.34) |
||
Окончательно получаем: |
|
|||||
|
|
t |
|
|
||
|
|
∫ |
|
|
||
|
|
|
|
|||
pв(t) =1−exp − |
|
μ(τ)dτ . |
|
|||
|
|
0 |
|
(1.35) |
||
Следовательно, между вероятностью восстановления и интенсивностью восстановления имеется однозначное соответствие.
-20-
Однако необходимо заметить, что вероятностные характеристики безотказности и восстанавливаемости независимы. Одно и то же устройство может обладать высокими показателями безотказности, но быть плохо восстанавливаемым, или наоборот.
В таблице 1.5 приведены основные соотношения, устанавливающие функциональную связь между ПН восстановления.
Таблица 1.5. Функциональная связь между ПН восстановления.
Известный |
|
|
|
|
Формулы для определения остальных ПН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ПН |
pв(t) |
|
|
|
qв(t) |
|
|
ωв(t) |
|
|
|
|
|
|
μ(t) |
|||||||||||||||||
pв(t) |
|
|
|
|
|
|
1− pв(t) |
|
|
dpв(t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dpв(t) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
1− pв(t) |
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||
qв(t) |
1−qв(t) |
|
|
|
|
|
|
|
− dqв(t) |
|
|
− |
1 |
|
|
dqв(t) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
qв(t) |
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωв(t) |
|||||||||||||
ωв(t) |
∫ωв(t)dt |
|
|
1− ∫ωв(t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− ∫ωв(t)dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
μ(t) |
|
|
− ∫μ(t)dt |
|
|
− ∫μ(t)dt |
|
|
|
|
− ∫μ(t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1−exp |
|
exp |
|
μ(t) exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.4.3. Комплексные ПН
Для ремонтируемых ТС (с восстановлением) представляет интерес изучение последовательности случайных событий, которые представляют собой повторяющиеся отказы, следующие за многократными восстановлениями.
Последовательность отказов называется потоком отказов.
Выделим некоторый произвольный интервал времени от момента включения t=0 до некоторого текущего значения времени t. Предположим, что на этом интервале времени (0,t) произошло Vt отказов. Причем Vt – представляет собой дискретную случайную величину.
Обозначим через Fn(t) – вероятность того, что на интервале (0,t)
произошло не менее n отказов, т.е.: |
|
Fn (t) = P{Vt ≥ n}. |
(1.36) |
Из (1.36) можно получить формулу для определения вероятности |
|
появления точно n отказов на интервале (0,t): |
|
P{Vt = n}= P{Vt ≥ n}−P{Vt ≥ n +1}= Fn (t) −Fn+1(t). |
(1.37) |
1. Ведущая функция потока отказов Важнейшей характеристикой потока отказов является математическое
ожидание числа отказов на интервале (0,t). Эта характеристика называется
ведущей функцией потока отказов. Обозначим ее через H(t). |
|
H(t) = m1{Vt }. |
(1.38) |
-21-
В связи с тем, что после каждого отказа следует восстановление, то H(t) представляет также и среднее число восстановлений на интервале (0,t).
Среднее число отказов в интервале времени (t1,t2) равно:
m1{Vt2 −Vt1 }= m1{Vt2 }−m1{Vt1 }= H(t2 ) −H(t1). |
(1.39) |
|
По определению среднего значения дискретной |
случайной величины |
|
(математического ожидания) имеем: |
|
|
∞ |
|
|
H(t) = ∑nP{Vt = n}. |
(1.40) |
|
n=0 |
|
|
Подставив (1.37) в выражение (1.40) и разбив сумму на две, получаем: |
||
∞ |
∞ |
|
H(t) = ∑nFn (t) −∑nFn+1(t). |
(1.41) |
|
n=0 |
n=0 |
|
В первой сумме выражения (1.41) член при n=0 равен нулю и его можно опустить. Во второй сумме индекс суммирования заменяем на m=n+1. Тогда выражение (1.41) примет вид:
∞ |
∞ |
H(t) = ∑nFn (t) −∑(m −1)Fm (t). |
|
n=1 |
m=1 |
Объединяя суммы, получим окончательно для ведущей функции потока |
|
отказов: |
|
∞ |
|
H(t) = ∑Fn (t). |
(1.42) |
n=1 |
|
2. Интенсивность потока отказов
Теперь найдем среднее число отказов на интервале (t1,t2), отнесенное к
длительности этого интервала (t1–t2). Согласно выражению (1.39) оно равно |
|||||||
|
[H(t2 ) −H(t1)] |
. |
|
|
|
|
|
|
(t2 −t1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
Предел этого отношения называется интенсивностью потока отказов |
||||||
и обозначается через ωИПО: |
|
|
|||||
|
ωИПО(t) = lim |
H(t + t) −H(t) |
= dH(t). |
(1.43) |
|||
|
|
t→0 |
|
t |
dt |
||
|
Из выражений (1.43) и (1.42) следует, что: |
|
|||||
|
|
∞ dF (t) |
|
|
|||
|
ωИПО(t) = ∑ |
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(1.44) |
|||
|
|
n=1 |
dt |
|
|||
3. Функция распределения потока отказов
Рассмотрим связь функций Fn(t), т.е. функции распределения числа отказов с показателями безотказности и восстанавливаемости устройства, т.е. плотности распределения наработки на отказ и плотности распределения времени восстановления.
При этом сделаем два предположения:
1.Поток отказов и поток восстановлений каждый в отдельности и совместно представляют собой последовательность независимых событий.
2.На интервале восстановления отказы не возникают.
Через τk обозначим случайный интервал времени момента возникновения k-го отказа после первого включения устройства. В этом случае: