Файл: Методичке_Миэм.pdf

где ς [дзета] – интервал времени между отказами, который складывается из интервала восстановления ηk и интервала безотказной работы ξk.

Рис.1.5.

Момент n-го отказа, очевидно, равен сумме интервалов между отказами:

(1.46)

Событие, состоящее в том, что на интервале времени (0,t) появится минимум n отказов, – эквивалентно событию, при котором момент n-го отказа предшествует моменту времени t.

Следовательно:

Fn (t) = P{Vt ≥ n}= P{τn < t}

Так как случайные величины ς1 – ςn независимы, поэтому определение функции Fn(t) сводится к задаче о распределении суммы конечного числа независимых величин. Обычно для решения подобных задач используют метод характеристических функций.

Обозначим через ωςk (t) – плотность распределения случайной величины

дзета ςk. При этом характеристической функцией Θςk (iv ) случайной величины называется преобразование Фурье ее плотности распределения, т.е.:

Плотность распределения получается из характеристической функции путем обратного преобразования Фурье:

Из выражения (1.48) следует, что характеристическая функция случайной

величины ςk есть среднее значение от eivςk . Но тогда для суммы независимых случайных величин получаем:

где Θηk ( iv ) и Θξk ( iv ) – соответственно, характеристические функции восстановления и безотказной работы.

Вычисляются эти функции с помощью преобразования Фурье от плотности распределения времени восстановления ωηk (t) и плотности распределения наработки на отказ ωξk (t):

Объединяя выражения (1.47), (1.49), (1.51)÷(1.54) получим искомую зависимость функции Fn(t) от характеристик восстанавливаемости и безотказности:

t

Fn (t) = ∫W∑n (t)dt =

В случае однородных потоков отказов и потоков восстановления функции распределения ω(t) и ωв(t) не зависят от номера интервала. Поэтому в выражении (1.55) произведение можно заменить n-ой степенью выражения, заключенного в квадратные скобки, т.е.:

4. Параметр потока отказов

-24-

Обозначим через Ω(t)dt вероятность того, что на интервале (t,t+dt) произойдет отказ. Теперь предположим, что потоки отказов являются ординарными, т.е. вероятность совмещения в один и тот же момент двух и более отказов пренебрежимо мала. Во многих случаях допустимо считать, что вероятность появления на интервале времени (t,t+dt) более одного отказа есть величина более высокого порядка малости, чем dt, если dt достаточно мала.

Обозначим через An событие, состоящее в том, что на интервале (t,t+dt) произошел n-ый по счету отказ после первого включения устройства.

В связи с тем, что плотность распределения момента n-го отказа равна

dFn (t), dt

вероятность события An можно вычислить по формуле:

P{An }= dFn (t).

Тогда, событие Ω(t)dt, состоящее в том, что на интервале (t,t+dt) появится любой по счету отказ, представляет собой объединение событий An для всех целых и положительных n:

Так как два любых события Ak и Ar при k≠r не совместны, то формулу (1.58) можно преобразовать, используя правило сложения вероятностей:

Величина Ω(t) называется параметром потока отказов. Она

Т.е. для ординарных потоков отказов параметр потока отказов Ω(t) и интенсивность потока отказов ωИПО(t) совпадают!

В связи с тем, что число отказов и число восстановлений совпадают,

величину Ω(t) можно назвать также интенсивностью потока восстановлений.

Интегрируя обе части выражения (1.61) по t в пределах от 0 до t c учетом, что H(0)=0, получим:

Существует зависимость между параметром потока отказов Ω(t) и единичными ПН, а именно частотой отказа ω(t).

Для ординарных потоков отказов с ограниченным последействием Ω(t) и ω(t) связаны интегральным уравнением Вольтера второго рода:

которое решается обычно численными методами с использованием метода последовательных приближений.

Решая (1.63) по известной ω(t), можно найти все количественные характеристики надежности как невосстанавливаемых, так и восстанавливаемых ТС.

Другими словами, уравнение (1.63) – это основное уравнение, связывающее ПН невосстанавливаемых и восстанавливаемых ТС при мгновенном восстановлении, т.е. без учета времени, требующегося на восстановление ТС после отказа.

Для определения основных свойств параметра потока отказов Ω(t) используем преобразование Лапласа. Второй член выражения (1.63) представляет собой свертку двух функций, поэтому:

Ω(p) = Ω(p) ω(p) +ω(p).

Откуда уравнение (1.63) в операторной форме имеет вид:

Соотношения (1.64) и (1.65) позволяют найти одну характеристику через другую, если существует преобразование Лапласа функций ω(p) и Ω(p) и соответственно обратное преобразование выражений (1.64) и (1.65).

Воспользуемся известным соотношением операционного исчисления:

Раскрывая неопределенность, получим:

т.е. предел, к которому стремится параметр потока отказов Ω(t) при t→∞, равен величине, обратной средней наработке на отказ.

При этом Ω(t) обладает следующими свойствами:

-26-

1.для любого момента времени независимо от закона распределения времени безотказной работы (БР) Ω(t)>ω(t);

2.независимо от вида функции ω(t) параметр потока отказов Ω(t) при t→∞ стремится к 1/Tср;

3.если λ(t) – возрастающая функция времени, то λ(t)>Ω(t)>ω(t); если λ(t) –убывающая функция времени, то Ω(t)>λ(t)>ω(t);

4.при экспоненциальном законе распределения времени БР, т.е. при λ(t)=λ=const, параметр потока отказов ТС не равен сумме потоков

отказов элементов ТС:

N

ΩТС (t) ≠ ∑Ωi (t),

i =1

при этом Ω(t) = (t) = λ.

Пример. Определим параметр потока отказов Ω(t), если в результате анализа данных об отказах ТС установлено, что частота отказов системы имеет вид:

ω(t) = λ2te−λt .

Решение.

Воспользуемся формулой (1.64), для чего найдем преобразование Лапласа частоты отказов ω(t):

Для отыскания Ω(t) найдем обратное преобразование Лапласа функции Ω(p). Корнями знаменателя будут:

p1 = 0; p2 = −2λ.

Тогда после преобразований

5. Функции готовности и простоя

Функцией готовности G(t) (ФГ) называется зависимость вероятности работоспособности системы в произвольный момент времени от текущего времени.

Вероятность того, что в произвольный момент времени t устройство не будет работоспособно, называется функцией простоя (ФП):

g(t) =1−G(t) (1.66)

Функцию готовности G(t) иногда называют нестационарным коэффициентом готовности, функцию простоя g(t) – нестационарным коэффициентом простоя.

Разделим интервал (0,t) на N непересекающихся интервалов Δτ.