Кафедра электротехники и электрических машин

Лекция № 34

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

для студентов направления подготовки:

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

Тема № 14. Переменное электромагнитное поле.

Краснодар 2015 г.

Цели: 1. Формирование следующих компетенций:

1. ОПК-2: cпособность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач;

2. ОПК-3: Способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей.

2. Формирование уровня обученности:

должны знать методы анализа и моделирования электрических цепей и электромагнитного поля при решении профессиональных задач

Материальное обеспечение:

Проектор, ПК, комплект слайдов «ЭиЭ, тема 1».

Учебные вопросы

Вводная часть.

Основная часть:

1. Уравнения Максвелла в комплексной форме. Комплексные параметры среды. Электромагнитные волны и излучение. Волновое уравнение и его решение. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике. Параметры волны

2. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела двух сред. Плоская электромагнитная волна в проводящей среде, параметры волны.

3. Поверхностный электрический и магнитный эффект, глубина проникновения, эффект близости. Экранная защита от электромагнитного излучения. Теорема Умова-Пойнтинга. Энергия электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга. Баланс мощности в замкнутой области пространства

Заключение.

Литература

1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник для бакалавров – 11-е изд., перераб. и доп. / Л.А. Бессонов. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 317 с.

---

1.Уравнения максвелла в комплексной форме записи

Если проекции векторов поля Е и Н изменяются во времени по синусоидальному закону, причем фазы всех трех прямоугольных проекций одинаковы, то уравнения Максвелла можно записать в комплексной форме. Пусть вектор напряженности электрического поля имеет проек­ции:

К
омплексной амплитудой вектора Е назовем вектор

М
гновенное значение вектора Е = Im {E_me^jωt}. Аналогично можно записать комплексную амплитуду напряженности магнитного поля

и мгновенное значение:

Если в уравнения Максвелла подставить вместо Е и Н величины E_me^jωt и Н_me^jω полученные решения будут справедливы не только для мнимых составляющие, входя­щих в уравнение величин, но и для действительных состав­ляющих. При этом запись уравнений значительно упро­стится, так как множитель e^jωt сократится.

Р
ассмотрим первое уравнение Максвелла

П
одставив вместо Н величину H_me^jωt (мнимая часть которой равна Н), а вместо Е величину E_me^jωt, получим:

П
осле сокращения на ejωt мы получим первое уравнение Максвелла в комплексной форме записи

Аналогично можно получить и остальные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме записи; второе уравнение Максвелла

а также

Р
ешив эти уравнения и определив комплексное амплитуды Еm и Нm, легко найти мгновенные значения векторов поля из выражений

Если векторы поля меняются во времени по косинусоидальному закону, то в этом случае

Удобство комплексной формы записи основных уравнений поля заключается в том, что время t исключается из этих уравнений.

Теорема единственности решения уравнений максвелла

Покажем, что если при решении уравнений Максвелла для определенных начальных и граничных условий получены значения векторов поля Е и Н, то это решение единственное.

Предположим, что электромагнитное поле исследуется в определенной области пространства V, которая ограничена замкнутой поверхностью S. Параметры ε, µ и γ постоянны. Начальные и граничные условия заданы следующим образом. В момент t = 0 значения векторов Е и Н заданы во всех точках области V. На поверхности S известны касательные составляющие одного из векторов поля (предположим, Е) для всех моментов времени от 0 до t. Тогда уравнения Максвелла однозначно определяют векторы Е и Н в любой точке области V и в любой момент t.

Предположим противное, т. е. что существует другое решение уравнений Максвелла, причем значения векторов поля E1 и Н1 удовлетворяют перечисленным выше начальным и граничным условиям. Рассмотрим два новых вектора Е2 = Е -El , Н2 = Н –Н1. Очевидно, что Е2 и Н2 также являются решением уравнений Максвелла, но начальные и граничные условия для них будут несколько иными. При t = 0 во всех точках области V, E2 и Н2 должны равняться нулю, так как в этот момент Е = Е1 и Н = Н1. На поверхности S во все моменты времени от 0 до t касательная составляющая вектора Е2 также должна быть равна нулю. Следовательно, вектор Е2 может иметь на поверхности S только нормальную составляющую.

---

Применим к полю векторов Е2 и Н2 теорему Умова-Пойнтинга

На поверхности S произведение

[Е2Н2] dS = 0,

так как в любой точке граничной поверхности S направление Е2 совпадает с нормалью. Теорема Умова — Пойнтинга примет вид:

Первое слагаемое этого выражения, равное мощности тепловых потерь, может быть только величиной положительной или равной нулю. Тогда должна быть или отрицательной величиной (если убывает), или равной нулю (если = const). Согласно начальным условиям в момент t = 0 во всех точках рассматриваемой области векторы поля равны нулю Е2 =0, Н2 = 0; следовательно, и

Энергия не может принимать отрицательных значений, поэтому она должна оставаться равной нулю. Следовательно, векторы Е2 и Н2 равны нулю в любой момент t и в любой точке области V. Это значит, что Е –E1 =0, Н - Ht = 0, т. е. Е1 = Е и Н1 = Н и, следовательно, второе решение совпадает с первым.

Запаздывающие или обобщенные электродинамические потенциалы

Для определения векторов Е и Н по заданныv и р необходимо решить полную систему уравнений Мaксвелла

Будем считать, что параметры среды ε, µ, γ постоянны и заданы. Искомые векторы Е и Н и заданные величины и р зависят от трех пространственных координат и времени.

Непосредственное решение уравнений Максвелла обычно связано с большими трудностями. Задачу можно упростить, если ввести вспомогательные функции φ и А пространственных координат и времени. Их называют обобщенными электродинамическими потенциалами.

Зависимости между Е и Н, а также между А и φ устанавливаются таким образом, чтобы основные уравнения поля приняли наиболее удобный для решения вид.

Положим

rot А = µаН = В,

что возможно, так как В соленоидальный вектор:

div В = 0.

Для однозначного определения вектора А надо задать еще и его дивергенцию, но подберем ее позже так, чтобы упростить полученные выражения.

Вектор А будем называть обобщенным векторным потенциалом.

Выразим напряженность магнитного поля через векторный потенциал

Н = rot А.

П
одставим значение Н во второе уравнение Максвелла

Заменив последовательность дифференцирования и сократив на ,

получим:

Следовательно, вектор потенциальный и можно

найти такую скалярную функцию φ, для которой он служит градиентом:

Величину φ назовем обобщенным скалярным потенциалом. Мы связали уравнениями

векторы поля Е и Н с обобщенными потенциалами А и φ.

Для определения А и φ используем остальные уравнения электромагнитного поля.

Первое уравнение Максвелла можно записать следующим образом:

или

Обозначим Отметим, что величина имеет размерность скорости. Развернем выражение ротора от ротора:

или

Можно выбрать div А так, чтобы уравнение упростилось, положив

Тогда векторный потенциал определяется из уравнения

Е
сли записать это векторное уравнение в прямоугольной декартовой системе координат, то, считая, что

---

П
олучим три принципа Даламбера :

Если в уравнение div Е = подставить значение Е, то получим:

или, так как div grad φ = , то

Подставив выражение div А, получим:

Для определения скалярного потенциала также надо решить уравнение Даламбера.

Введя обобщенные потенциалы А и φ, мы свели уравнения Максвелла к четырем однотипным уравнениям Даламбера и этим значительно упростили задачу расчета электромагнитного поля.

Р
ешения уравнений Даламбера можно записать в виде интегралов

Чтобы найти скалярный потенциал в точке N в момент t , надо разбить объем V на элементы dV, определить величину заряда в этом элементарном объеме в момент (где R — расстояние от элемента объема dV до точки N, a — скорость распространения электромагнитной энергии в диэлектрике с проницаемостью εа и μa). Разделив этот заряд на 4πεаR и проинтегрировав по всем элементарным объемам в которых имеется заряд с плотностью ρ, мы получим скалярный потенциал в данной точке в момент t.

Аналогично определяются и проекции векторного потенциала. Важно отметить, что изменения свободных объемных зарядов и токов проводимости сказываются в различных точках поля не мгновенно, а спустя некоторое время R/υ, необходимое для того, чтобы электромагнитная волна прошла расстояние R. Поэтому потенциалы А и φ называются запаздывающими.

Для вакуума υ равно скорости света

В диэлектрике с проницаемостью ε при μ=1 величина скорости распространения электромагнитной энергии

Так как величина υ большая, то запаздывание скажется только при достаточно большом удалении точки от места расположения зарядов и токов и тем сильнее, чем больше это удаление.

В областях поля, не имеющих объемных зарядов и токов проводимости, уравнения, определяющие обобщенные потенциалы, примут вид:

Эти соотношения называются волновыми уравнениями.

При решении уравнений Даламбера и волновых уравнений должны быть учтены для каждой конкретной задачи начальные и граничные условия. Если область V, в которой исследуется поле, состоит из нескольких однородных сред, то на границах этих сред должны соблюдаться следующие соотношения:

В этих соотношениях:

σ — поверхностная плотность свободных зарядов на границе двух сред; η — плотность поверхностного тока на граничной поверхности.

2. Наклонное падение плоской волны

Пусть направление распространения плоской гармонической волны составляет с граничной плоскостью между двумя разнородными средами угол, отличный от прямого. Обе среды — идеальные диэлектрики.

Н аправление распространения падающей волны в первой среде обозначим через s₁.

Волна, встретив граничную поверхность, частично отразится от нее, частично перейдет во вторую среду.

Направления распространения отраженной и преломленной волн обозначим через s₀ и s₂. Назовем плоскостью падения плоскость, на которой лежат вектор Пойнтинга падающей волны и нормаль к граничной плоскости.

---

На рисунке координатные оси х, у, z направлены таким образом, чтобы плоскость уОх совпала с граничной, а пло­скость уОz совпала с плоскостью падения.

Угол φ₁ между направлением распространения падающей волны s₁ и нормалью к граничной плоскости (в данном слу­чае с осью z) называют углом падения. Угол φ₀ между направлением распространения отраженной волны s₀ и нормалью к граничной плоскости называют углом отражения. Угол называют углом преломления.

Расстояние r₁ плоскости постоянной фазы падающей волны до начала координат в общем случае равно:

причём

Так как при выбранном на рисунке направлении коор­динатных осей cos(s₁,х) = 0, угол s₁Oz = φ₁, то

Аналогично можно записать и расстояния от начала координат до плоскости равных фаз отраженной и преломленной волн:

Мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного поля всех трех волн можно записать следующим образом:

где

Им соответствуют комплексные амплитуды

На граничной плоскости при z = 0 тангенциальные со­ставляющие вектора Е непрерывны:

Так как при z = 0

r₁ = y sin φ₁;

r₀ = y sin φ₀;

r₂ = y sin φ₂,

то

Граничное условие будет соблюдено только в том слу­чае, если

Полученное выражение позволяет формулировать два закона.

а) Угол падения равен углу отражения (закон отражения):

б) Отношение синуса угла падения к синусу угла прелом­ления — величина постоянная, равная отношению фазовых скоростей в первой и второй средах (закон преломления):

Закон отражения справедлив для плоских волн любой поляризации и при разных частотах. Что касается закона преломления, то, так как диэлектрическая проницаемость среды, а следовательно, и фазовая скорость волны зависят от частоты (явление дисперсии), то отношение синусов углов падения и преломления, постоянное при фиксированной частоте, меняется при изменении частоты.

Зная амплитуду и фазу Е_пад и диэлектрические прони­цаемости обеих сред, можно, используя граничные условия, найти Е_отр и Е_пр. Вначале будут рассмотрены два частных случая:

1. когда Е_пад совпадает с плоскостью падения;

2. когда Е_пад перпендикулярен плоскости падения.

Установив законы отражения и преломления в этих двух случаях, можно определить их и в случае произвольного направления Е_пад. Для этого надо разложить Е_пад на два взаимно перпендикулярных вектора, один из которых должен совпадать с плоскостью падения, и воспользоваться принципом наложения.

1. Пусть вектор Е' лежит в плоскости падения. Тогда вектор Н' будет параллелен оси х.

Выберем для векторов H’₁, Н₀’ и Н₂’ положительное на­правление, совпадающее с направлением оси х .

Так как на граничной плоскости нет поверхностных то­ков, то тангенциальные составляющие вектора Н' по обе стороны граничной поверхности при z =0 и любом х долж­ны быть одинаковы. Следовательно, должны быть одина­ковы и их комплексные амплитуды:

---

Смотрите также файлы

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf

• otvety на экзамен с 21 вопроса.docx

• Вопросы к экзамену.docx

• Общественное производство.docx